文档介绍：第一章解三角形
§ 正弦定理和余弦定理
正弦定理(一)
课时目标
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.
△ABC中,A+B+C=π,++=.
△ABC中,C=,则=sin_A,=sin_B.
,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,.
:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==,这个比值是三角形外接圆的直径2R.
一、选择题
△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A∶B∶C=1∶2∶3,则
a∶b∶c等于( )
∶2∶3 ∶3∶4
∶4∶5 ∶∶2
答案 D
△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为( )
A.+1 +1
+2
答案 C
解析由正弦定理=,
得=,∴b=2.
△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为( )
答案 A
解析 sin2A=sin2B+sin2C⇔(2R)2sin2A=(2R)2sin2B+(2R)2sin2C,即a2=b2+c2,由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.
△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系为( )
>B <B
≥B ,B的大小关系不能确定
答案 A
解析由sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.
△ABC中,A=60°,a=,b=,则B等于( )
°或135° °
° °
答案 C
解析由=得sin B=
==.
∵a>b,∴A>B,B<60°
∴B=45°.
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30°,那么角C等于( )
° ° ° °
答案 A
解析∵c=a,∴sin C=sin A=sin(180°-30°-C)
=sin(30°+C)=,
即sin C=-cos C.
∴tan C=-.
又C∈(0°,180°),∴C=120°.
二、填空题
△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则C=_________.
答案 75°
解析由正弦定理得=,∴sin A=.
∵BC=2<AC=,∴A为锐角.∴A=45°.
∴C=75°.
△ABC中,若tan A=,C=150°,BC=1,则AB=________.
答案
解析∵tan A=,A∈(0°,180°),∴sin A=.
由正弦定理知=,
∴AB===.
△ABC中,b=1,c=,C=,则a=________.
答案 1
解析由正弦定理,得
=,
∴sin B=.∵C为钝角,
∴B必为锐角,∴B=,
∴A=.
∴a=b=1.
△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60°,则A=______.
答案 30°
解析∵b=2a∴sin B=2sin A,又∵B=A+60°,
∴sin(A+60°)=2sin A
即sin Acos 60°+cos Asin 60°=2sin A,
化简得:sin A=cos A,∴tan A=,∴A=30°.
三、解答题
△ABC中,已知a=2,A=30°,B=45°,解三角形.
解∵==,
∴b====4.
∵C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,
∴c====2+2.
△ABC中,已知a=2,b=6,A=30°,解三角形.
解 a=2,b=6,a<b,A=30°<90°.
又因为bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,
所以本题有两解,由正弦定理得:
sin B===,故B=60°或120°.
当B=60°时,C=90°,c==4;
当B=120°时,C=30°,c=a=2.
所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2.
能力提升
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a=,b=2,sin B+cos B=,则角A的大小为________.
答案
解析∵sin B+cos B=sin(+B)=.
∴sin(+B)=1.
又0<B<π,∴B=.
由正弦定理,得sin A===.
又a<b,∴A<B,∴A=.