文档介绍：第十二讲平行四边形
——矩形、菱形、正方形的基础,还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形,并且包含着有关平行线的许多性质,因此,它在几何图形的研究上有着广泛的应用.
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质:
(1)平行四边形对角相等;
(2)平行四边形对边相等;
(3)平行四边形对角线互相平分.
除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法:
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1 如图2-,AE⊥BC,CF⊥AD,DN=:EF与MN互相平分.
分析只要证明ENFM是平行四边形即可,由已知,提供的等量要素很多,可从全等三角形下手.
证因为ABCD是平行四边形,所以
ADBC,ABCD,∠B=∠D.
又AE⊥BC,CF⊥AD,所以AECF是矩形,从而
AE=CF.
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL,或AAS),BE==DN,所以
△BEM≌△DFN(SAS),
ME=NF. ①
又因为AF=CE,,∠MAF=∠NCE,所以
△MAF≌△NCE(SAS),
所以 MF=NF. ②
由①,②,四边形ENFM是平行四边形,从而对角线EF与MN互相平分.
例2 如图2-△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF∥:AE=CF.
分析 AE与CF分处于不同的位置,⊥BC于H,由于BG是∠ABC的平分线,故AG=GH,易知△ABG≌△,可证△ABE≌△HBE,从而AE=,将AE“转移”,问题即可获解.
证作GH⊥BC于H,∠ABH的平分线,GA⊥BA,所以GA=GH,从而
△ABG≌△HBG(AAS),
所以 AB=HB. ①
在△ABE及△HBE中,
∠ABE=∠CBE,BE=BE,
所以△ABE≌△HBE(SAS),
所以 AE=EH,∠BEA=∠BEH.
下面证明四边形EHCF是平行四边形.
因为AD∥GH,所以
∠AEG=∠BGH(内错角相等). ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH,等角的补角相等),∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等),所以
∠AGB=∠GEH.
从而
EH∥AC(内错角相等,两直线平行).
由已知EF∥HC,所以EHCF是平行四边形,所以
FC=EH=AE.
说明本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等),从而构造出全等三角形ABG与△△ABE≌△HBE,,证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了.
人们在学****中,经过刻苦钻研,形成有用的经验,这对我们探索新的问题是十分有益