文档介绍：高一数学
第二章函数2:指数函数与对数函数
●知识网络
●范题精讲
一、指数及对数运算
【例1】(1)已知=3,求的值;
(2)已知lg(x+y)+lg(2x+3y)-lg3 = lg4 + lgx + lgy,求的值。
(1)分析:由分数指数幂运算性质可求得和x2+x-2的值。
解:∵=3,
∴
=33-3×3=18。
x2+x-2=(x+x-1)2-2=[(-2]2-2=(32-2)2-2=47。
∴原式=。
(2)分析:注意x、y的取值范围,去掉对数符号,找到x、y的关系式。
解:由题意可得x>0,y>0,由对数运算法则得
lg(x+y)(2x+3y)=lg(12xy),
则(x+y)(2x+3y)=12xy。
(2x-y)(x-3y)=0,
即2x=y或x=3y。
故或=3。
评注:条件代数式的求值问题包括以下三个方面:(1)若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手用上条件;(2)若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化成结论的形式;(3)若条件与结论的复杂程度相差无几时,可同时对它们进行化简,直到找出它们之间的联系为止。
对于齐次方程的化简,也可在方程两边同除以某一齐次项,把方程转化成要求的代数式为未知数的方程的形式。
二、指数函数、对数函数的性质应用
【例2】已知函数y= (a2x)·loga2()(2≤x≤4)的最大值为0,最小值为-,求a的值。
解:y= (a2x)·loga2()
=-loga(a2x)[-loga(ax)]
=(2+logax)(1+logax)
=(logax+)2-,
∵2≤x≤4且-≤y≤0,∴logax+=0,即x=时,ymin=-。
∵x≥2>1,∴>10<a<1。
又∵y的最大值为0时,logax+2=0或logax+1=0,
即x=或x=.∴=4或=2。
又∵0<a<1,∴a=。
评注:(1)若不注意发现隐含条件"0<a<1"则会造成不必要的分类讨论。
(2)在最值问题中以二次函数为内容的最值最常见,而且许多表面上非二次函数最值问题通过适当变形都可以转化为二次函数最值。
三、指数函数、对数函数图象的应用
【例3】已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是下图中的
解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C。
其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D。
∴应选B。
解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过(-1,0),以上图象均不符合这些条件。
若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0),只有B满足条件。
解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=log