文档介绍：第一章复数的运算与复平面上的拓扑
一对有序实数(x,y)构成复数,其中.,
X称为复数的实部,y称为复数的虚部。
复数的表示方法
1)模:;
2)幅角:在时,矢量与轴正向的夹角,记为(多值函数);主值是位于中的幅角。
3)与之间的关系如下:
当;
当
4)三角表示:,其中;注:中间一定是“+”
5)指数表示:,其中
1).加减法:若,则
2).乘除法:
3)若,则
;
。
4)若, 则;
复平面对内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而N点本身可代表无穷远点, 记作¥.这样的球面称作复球面
这样的球面称作复球面.
扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点∞
复平面的开集与闭集
复平面中领域,内点,外点,边界点,聚点,闭集等概念
复数序列的极限和复数域的完备性
复数的极限,,柯西收敛定理,魏尔斯特拉斯定理,聚点定理等从实数域里的推广,可以结合实数域中的形式来理解。
第二章复变量函数
1)复变函数的反演变换(了解)
2)复变函数性质
反函数
有界性
周期性,
3)极限与连续性
极限:
连续性
1)复初等函数
2)指数函数:,在平面处处可导,处处解析;且。注:是以为周期的周期函数。(注意与实函数不同)
3)对数函数: (多值函数);
主值:。(单值函数)
的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且;
注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)
4)乘幂与幂函数:;
注:在除去原点及负实轴的平面内处处解析,且。
5)三角函数:
在平面内解析,且
注:有界性不再成立;(与实函数不同)
6)双曲函数;
奇函数,是偶函数。在平面内解析
第三章解析函数的定义
复变量函数的解析性
1)函数可导的充要条件:在可导
和在可微,且在处满足条件: 此时, 有。
2)函数解析的充要条件:在区域内解析
和在在内可微,且满足条件:;
此时。
注意: 若在区域具有一阶连续偏导数,则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时,函数一定是可导或解析的。
解析映射的几何意义
保角性:任何两条相交曲线的夹角(即在交点的切线的夹角)在解析映射下的夹角保持不变
第四章柯西定理和柯西公式
复变函数积分的性质
(与的方向相反);
是常数;
3) 若曲线由与连接而成,则。
1)化为线积分:;(常用于理论证明)
2)参数方法:设曲线: ,其中对应曲线的起点,对应曲线的终点,则
1)条件:见书中定理()()命题()()
这几个定理及命题都只有理论上的意义。
柯西-古尔萨定理及其应用
—古萨基本定理:
设在单连域内解析,为内任一闭曲线,则
: 设在多连域内解析,为内任意一条简单闭曲线,是内的简单闭曲线,它们互不包