文档介绍：函数概念教学论文
摘要:函数的概念及相关内容是高中和职业类教材中非常重要的部分,许多学生认为这些内容比较抽象、难懂、图像多,方法灵活多样。以致部分学生对函数知识产生恐惧感。就教学过程中学生的反应和自己的反思,浅淡几点自己的看法。
关键词:函数;对应;映射;数形结合
1要把握函数的实质
17世纪初期,笛卡尔在引入变量概念之后,就有了函数的思想,把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹,欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是:设x、y是两个变量,如果当变量x在实数的某一范围内变化时,变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量,变量y叫变量x的函数,记作y=f(x)。初中教材中的定义为:如果在某个变化过程中有两个变量x、y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值与之对应,那么y就是x的函数,x叫自变量,x的取值范围叫函数的定义域,和x的值对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化,它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画,以致不能明确函数是x、y双方变化的总体,却把y定义成x的函数,这与函数是反映变量间的关系相悖,究竟函数是指f,还是f(x),还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱注意到了“对应关系”,于1837年提出:对于在某一区间上的每一确定的x值,y都有一个或多个确定的值与之对应,那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后,明确把集合到集合的单值对应称为映射,并把:“一切非空集合到数集的映射称为函数”,函数是映射概念的推广。对应说的优点有:
①它抓住了函数的实质——对应,是一种对应法则。②它以集合为基础,更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化,比如:某班每一位同学与身高的对应;某班同学在某次测试的成绩的对应;全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划,它们相互独立,缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念,而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式,,似乎不是集合语言,1914年豪斯道夫采用了纯集合论形式的定义:如果集合fС{(x,y)|x∈A,y∈B}且满足条件,对于每一个x∈A,若(x,y1)∈f,(x,y2)∈f,则y1=y2,这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}的一个特殊子集,而序偶又是用集合定义的:={{x},{x,y}}.定义过于形式化,它舍弃了函数关系生动的直观,既看不出对应法则的形式,更没有解析式,不但不易为中学生理解,而且在推导中也不便使用,如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论,并
进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数,对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的,作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形,函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像,只要心中有形,函数性质就比较直观,处理问题时就会得心应手