文档介绍：第一章实分析概要
本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识,特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学****泛函分析的必要准备,而且在数学及其它学科中有直接的应用。
第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集
第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数
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第六节勒贝格积分
第一节集合及其运算
1) A ∪ A = A, A ∩ A = A;
2) A ∪Φ= A, A ∩Φ= Φ;
3)若 A ⊂ B ,则 A ∪ B = B, A ∩ B = A, A \ B = Φ;
4) 设 X 为基本集,则
A ∪ AC = X , A ∩ AC = Φ, ( AC )C = A, A \ B = A ∩ BC
又若 A ⊂ B ,则 AC ⊃ BC 。
集合的运算法则:
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交换律
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ;
结合律
( A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C) = A ∪ B ∪ C ;
( A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C) = A ∩ B ∩ C ;
分配律
( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪(B ∩ C) ;
( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C) ∩(B ∪ C) ;
( A \ B) ∩ C = ( A ∩ C) \ (B ∩ C) .
定理
设 X 为基本集,
Aα
为任意集组,则
1)
( U Aα)C = I ( Aα)C
()
α∈I
α∈I
2)
( I Aα)C = U ( Aα)C
()
α∈I
α∈I
A \ ( A \ B) = A I B
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第二节实数的完备性
有理数的稠密性
实数的完备性定理
定义 (闭区间套)
设{[an ,bn ]}(n = 1,2,L, ) 是一列闭区间, an < bn ,如果它满足两个条件:
1)渐缩性,即[a1 ,b1 ] ⊃[a2 ,b2 ] ⊃ L ⊃[an ,bn ] ⊃ L;
2) 区间长度数列{bn − an }趋于零,即 lim(bn − an ) = 0
n→∞
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定理 (区间套定理)
设{[an ,bn ]} 为实数轴上的任一闭区间套,其中 an 与 bn 都是实数,那么存在唯一的一个实数ξ属
∞
于一切闭区间[an ,bn ](n = 1,2,L) , 即ξ∈∩[an ,bn ],并且
n=1
lim an = lim bn = ξ
n→∞ n→∞
利用区间套定理,可以直接推出所谓的列紧性定理(定理 ),这个定理的名称的含义在第二
章中解释。我们先介绍一个有关的概念。
命题 设{xn }是一个数列,则 lim xn = a 的充分必要条件是:
n→∞
{xn }的每一个子列都收敛而且有相同的极限值 a .
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定理 (列紧性定理)√
任何有界数列必有收敛子列
定义 设{xn } 是一个数列,如果当 m, n →∞时,有 xm − xn → 0 ,那么就说{xn } 是一个基本
数列或柯西数列。
定理 柯西(Cauchy)收敛原理(完备性定理) √
数列{xn }收敛的充分必要条件是,它是一个基本数列。
定理 (单调收敛定理)√
单调有界数列(即单调增有上界数列或单调减有下界数列)必然收敛
定义 (确界) 设 A 是一个数集, M 是 A 的一个上(下)界。如果对任意的ε> 0 ,必存在
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A 中的数 xε,使得 xε> M −ε(xε< M + ε) ,那么就称 M 为数集 A 的上(下)确界。定理 确界存在定理(不讲)
由上(下)界的数集必有上(下)确界。
定义 (覆盖) 设[ a , b] 是一个闭区间, Α= {σ a | a ∈ I}是一个区间族,其中区间σ a 可以是开
的,闭的或者半开半闭的, 而指标集 I 可以是有限集,也可以是无限集。如果[ a , b] 中的每一点必
含于区间族Α的某一区间σ a 之中,那么就称Α覆盖区间[ a , b] ,或者区间[ a , b] 被Α覆盖。
定理 (有限覆盖定理)(不讲)
若闭区间[ a , b] 被区间族Α覆盖,则能从Α中选出有限个开区间覆盖[ a , b] 。
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上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理,它们是按这样的逻辑顺序进行的:从定理
(区间套定理)出发,推出定理 (列紧性定理),又从定理 推出定理 柯西(Cauchy)
收敛原理(完备性定理),又从定理