文档介绍：一、选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1、设,为n阶方阵,满足等式,则必有( C; )
(A)或; (B); (C)或; (D)。
2、和均为阶矩阵,且,则必有( D; )
(A) ; (B); (C) . (D) 。
3、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是( a )
(A) 的列向量线性无关; (B) 的列向量线性相关;
(C) 的行向量线性无关; (D) 的行向量线性相关.
4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是( a )
(A) 的秩小于; (B) ;
(C) 的特征值都等于零; (D) 的特征值都不等于零;
二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)
5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则= -125; 。
6、为阶矩阵,且,则。
7、已知方程组无解,则-1 。
8、二次型是正定的,则的取值范围是。
三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)
五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)
9、计算行列式
解:第一行减第二行,第三行减第四行得:
第二列减第一列,第四列减第三列得:
(4分)
按第一行展开得
按第三列展开得
。(4分)
10、计算阶行列式
解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形行列式
(4分)

(4分)
四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。写出证明过程)
11、若向量组线性相关,向量组线性无关。证明:
(1) 能有线性表出;
(2) 不能由线性表出。
证明:
(1)、因为线性无关,所以线性无关。,
又线性相关,故能由线性表出。(4分)
,
(2)、(反正法)若不,则能由线性表出,
不妨设。
由(1)知,能由线性表出,
不妨设。
所以,
这表明线性相关,矛盾。(4分)
12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵,可逆,且。
证明
(1) ;
(2) 。
证明
(1)
(4分)
(2)
由(1)得:,代入上式得
(4分)
解答题
13、设,求一个正交矩阵使得为对角矩阵。
解:
(1)由得的特征值为,,。(4分)
(2)的特征向量为,
的特征向量为,
的特征向量为。(3分)
(3)因为特征值不相等,则正交。(2分)
(4)将单位化得,, (2分)
(5)取
(6) (1分)