文档介绍：2005年考研数学二真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)设,则= .
【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
【详解】方法一: =,于是
,
从而=
方法二: 两边取对数,,对x求导,得
,
于是,故
=
(2) 曲线的斜渐近线方程为.
【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】因为a=
,
于是所求斜渐近线方程为
(3) .
【分析】作三角代换求积分即可.
【详解】令,则
=
(4) 微分方程满足的解为.
【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式:
,
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为
,
于是通解为
=,
由得C=0,故所求解为
(5)当时,与是等价无穷小,则k= .
【分析】题设相当于已知,由此确定k即可.
【详解】由题设,
=
=,得
(6)设均为3维列向量,记矩阵
,,
如果,那么 2 .
【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】由题设,有
=,
于是有
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数,则f(x)在内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]
【分析】先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形.
【详解】当时,;
当时,;
当时,
即可见f(x)仅在x=时不可导,故应选(C).
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,表示“M的充分必要条件是N”,则必有
F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
(B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]
【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】方法一:任一原函数可表示为,且
当F(x)为偶函数时,有,于是,即,也即,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则为偶函数,从而为偶函数,可见(A)为正确选项.
方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).
(9)设函数y=y(x)由参数方程确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ A ]
【分析】先由x=3确定t的取值,进而求出在此点的导数及相应的法线方程,从而可得所需的横坐标.
【详解】当x=3时,有,得(舍去,此时y无意义),于是
,可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:
,
令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为:, 故应(A).
(10)设区域,f(x)为D上的正值连续函数,a,b为常数,则
(A) . (B) . (C) . (D) . [ D ]
【分析】由于未知f(x)的具体形式,直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.
【详解】由轮换对称性,有
=
= 应选(D).
(11)设函数, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ B ]
【分析】先分别求出、、,再比较答案即可.
【详解】因为,
,
于是,
,
,
可见有,应选(B).
(12)设函数则
x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
(B) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.
x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点. [ D ]
【分析】显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限.
【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.
且,所以x=0为第二类间断点;
,,所以x=1为第一类间断点,故应选(D).
(13)设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]
【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可.
【详解】方法一:令,则
, .
由于线性无关,于是有