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高考数学母题
[母题]Ⅰ(21-17):几何概型的应用(611) 1531
几何概型的应用
[母题]Ⅰ(21-17):(《必修Ⅲ》(人教A版)P144例2)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲在离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离家之前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
[解析]:如图,设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为y,(x,y)可以看成平面中的点,试验
的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y)|≤x≤,7≤y≤8},这是一个正方形区域,面积为SΩ=
1×1=1;事件A表示父亲在离开家之前能得到报纸,所构成的区域为A={(x,y)|y≥x,(x,y)∈Ω},即图中的阴影部分,面积为SA=1-××=;这是一个几何概型,所以,P(A)==.
[点评]:应用几何概型解答相并问题的关键是建立何种几何模型(一维模型、二维模型、三维模型)?对此,我们需要分析待求事件由几个独立的变量控制,由几个独立的变量,就建立几维模型,然后,由相应度量(长度、面积、体积)的比求解.
[子题](1):(2012年辽宁高考试题),邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm3的概率为( ) (A) (B) (C) (D)
[解析]:如图所示,令AC=x,则CB=12-x(0<x<12)矩形面积S=x(12-x);令x(12-x)≤32,
则x∈(0,4]∪[8,12)P==.故选(C).
注:本题中的待求事件A:“矩形面积小于32cm3”由线段AC的长x所控制,因此,建立一维模型;确定几维模型后,一要确定哪些量为独立的变量?二要确定各个变量的取值范围;三要确定满足条件的各个变量的取值范围.
[子题](2):(2013年四川高考试题)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若都在接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,( ) (A) (B) (C) (D)
[解析]:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4;它们第一次闪
亮的时候相差不超过1秒,则|x-y|≤2;画出|x-y|≤2的可行域如图P=1-=.故选(C).
注:本题是“会面问题”的一个简单变式,“会面问题”是几何概型的典型问题,“会面问题”的一般形式:二人在时间m内约定在某地会面,且先到者等后到者时间后即可离开,则两人会面的概率P(A)=.
[子题](3):(2011年复旦大学保送生考试试题)在半径为1的圆周上随机选取3点,它们构成一个锐角三角形的概率是( ) (A) (B) (C) (D)
[解析]:如图,△ABC是锐角三角形A,B,C∈(0,),,∈
(0,π).设=x,=y,=z,则x+y+z=={(x,y,z)|x+y+z=2π,0<x,y,z<2π},A={(x,y,z)|x+y+z=2π,0<x,y,z<π}.则Ω是以D(2π,0