文档介绍：信息技术与数学整合案例
“‘对钩’函数的图象是双曲线”之数学实验
———《几何画板》数学实验设计方案二则
重庆市万州第二高级中学数学组向忠
摘要:本文介绍两个数学实验方案。一、利用《几何画板》通过数学实验手段,验证了“对钩”函数的图象是双曲线这一事实;二、是在方案一的基础上,将问题推广到更一般的情况,验证方程的曲线也是双曲线。设计基本思想:利用现代教育技术手段,引导学生运用所学数学知识,主动发现问题和解决问题,培养其创新意识和探究性学习的能力。
关键词:几何画板、数学实验、“对钩”函数、双曲线
在○八级高考第二轮复习中,有一件事情一直让我难以释怀。当我对分式函数最值的求法进行总结时,习惯性地把“对钩”函数, 的图象说成是双曲线,不想一石击起千重浪,同学们纷纷议论起其真实性来,有的同学还在下面尝试着进行证明。由于考虑到教学时间紧,其证明运算量大,若用坐标旋转简化运算,又超出了高考范围,于是我就把它搁置了下来,没有满足学生们的好奇心。如今,这批学生已经毕业离去,歉疚一直萦绕在我心间。此刻,正置“十·一”长假,我在家玩《几何画板》,脑海里又浮现出此事,方想到当初为什么不用《几何画板》为同学们做一个数学实验来验证一下呢!这样不仅可以帮助同学们解决疑虑,还可以使学生加深对双曲线定义及其有关性质的理解,强化他们应有所学知识和先进的技术手段解决问题的意识和能力,这不正是一个引导学生进行
探究性学习的好契机吗!如今我只能借此一纸文稿,设计如下实验方案,权当弥补遗憾,以备以后教学之用。
实验设计方案一
、实验原理:找出“对钩”函数,的图象的焦点和准线,量出有关距离,利用双曲线的第一定义,判断动点到两焦点的距离之差的绝对值是否满足定值条件,或利用双曲线的第二定义,判断动点到一焦点的距离与到对应准线的距离之商是否满足定值条件。
、准备阶段:
先打开《几何画板》,作出表示1单位、的线段,量出它们的长度,定义直角坐标系,使1单位=1厘米,隐藏坐标网络;过点作直线,作函数的图象。
、找顶点:
按实验原理,找出双曲线的焦点是关键。而焦点在顶点所在的对称轴上,所以应先作出顶点及所在的对称轴。作轴与直线的平分线的平分线(射线),量出斜率。顶点坐标是方程组的解,作点及其关于原点的对称点,点即顶点。隐藏角平分线(射线),作直线,得所求对称轴。
、找焦点:
由双曲线三参数平方关系的几何意义,过顶点作对称轴的垂线交轴于,以原点为圆心,过点作圆交对称轴于两点(即为焦点)。
、利用双曲线的第一定义验证结论:
在函数的图象上任取一点,连结,量出线段的长度,计算出的值,任意拖动点,可见的长度在变化,而的值不变;改变的大小,拖动点,仍为定值,且只与的大小有关。故根据双曲线定义,函数的图象是双曲线(如图1)。
(图1)
、利用双曲线的第二定义验证结论:
根据双曲线的性质:“渐近线、过一焦点且与渐近线垂直的直线、此焦点
对应的准线三