第四章日常生活中的数学模型.doc

文档介绍：第四章日常生活中的数学模型
§ 铅球投掷的模型
一. 背景、问题: 投掷圆直径=,有效扇形 450,坻趾板 10×10cm,铅球重 16磅=。运动员单手托住铅球,在投掷圆内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷圆间的距离测量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题:建模分析如何使铅球投掷得最远?
二. 模型与分析:
1. 抛射体模型:
假设:1. 铅球是个质点。2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。
变量、参量:出手角度 a,出手高度 h,出手速度 v=(v cos a, v sin a),投掷远度 s。
先分析铅球出手后的运动过程;在x-y坐标系中铅球运动的轨迹为( x(t), y(t) ).
由力与运动平衡关系(牛顿定律)得:
有解:
铅球落地点为(s, 0) 解得
模型I : s=s(v, h, a).
检验:
姓名 v (m/s) h(m) a(0) s(m) 实测
李梅素
李梅素
斯卢皮
基本吻合
分析:
1. 最佳出手角度: 显然函数 s(v, h, a)是变量v和h的单调增函数,关于变量a 的极大值点满足方程¶s/¶a=0,即:
化简可得:
因此,0£a£p/4,
给定出手高度 h, 最佳出手角度a 随出手速度 v 增大而增大。
给定出手速度 v,最佳出手角度a随出手高度 h 增大而减小。
2. 最佳投掷模式: 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最佳出手角度aopt= a(v, h)
和相应的投掷距离 s=s (h, v, aopt). 这样构成最佳的铅球投掷模式。
h\v 10 11 12 13 14 15






3. 主要因素分析—模型的参数灵敏度分析
问题: h, v, a 这三个因素中哪个最重要,即哪个参数变化对投掷距离s 影响最大?
归结为参数的灵敏度分析。这里采用模型对参数的极差分析方法:比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差rs=smax-smin 。
当h=,
V\ a 37 38 39 40 41 42 43 rs
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