相似矩阵及二次型讲义.ppt

文档介绍：第五章
相似矩阵
相量的内积、长度及正交性
一、两个向量的内积
设:
则:
称为与的内积。
内积也可记为[, ] = T
例:设T = (1, 1, 1, 1), T = (1, -2, 0, -1),求T。
解:
对于二维向量, 与的内积也称为数量积或标量积。
相量的内积、长度及正交性
一、两个向量的内积
内积的运算规律:
1、
2、
3、
4、
5、
相量的内积、长度及正交性
一、两个向量的内积
二、向量的长度
例:
设= (a1, a2, …, an)T  Rn ,称
为向量的长度(或模),记为
若:
则称为单位向量(或标准化向量)。
相量的内积、长度及正交性
一、两个向量的内积
向量长度的性质
1、
2、
3、
4、
5、
证明略。
相量的内积、长度及正交性
二、向量的长度
一、两个向量的内积
例:将向量标准化。
解:设向量的标准化向量为’,则
例:将向量= (1, 1) 标准化。
解:
检验:
相量的内积、长度及正交性
二、向量的长度
一、两个向量的内积
三、两个向量的正交
设,  Rn ,如果T= 0,则称向量与正交。
例:在平面直角坐标系中,试证明正交。
所以向量与正交。
在平面直角坐标系中,向量与正交的几何意义是与垂直。
相量的内积、长度及正交性
二、向量的长度
一、两个向量的内积
四、正交向量组
设1, 2, …s  Rn,且都是非零向量,如果向量组的向量两两正交,则1, 2, …s 为一个正交向量组。
相量的内积、长度及正交性
三、两个向量的正交
设,  Rn ,如果T= 0,则称向量与正交。
二、向量的长度
一、两个向量的内积
定理:设1, 2, …s 是一个正交向量组,
则1, 2, …s 线性无关。
证明:设存在一组数 k1, k2, … ks 使得
k11 + k22 + …+ kss = O
则:1T (k11 + k22 + …+ kss) = O
k11T1 + k21T2 + …+ kS1TS = O
k11T1 + O + …+ O = O
k11T1 = O
所以 k1 = 0
同理可得: k2 = 0 … ks = 0
所以1, 2, …s 线性无关。
相量的内积、长度及正交性