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第4章多自由度系统的振动
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动
第4章多自由度系统的振动
目录
固有频率主振型
主坐标和正则坐标
固有频率相等的情形
无阻尼系统对初始条件的响应
质量、刚度的变化对固有频率的影响
无阻尼振动系统对激励的响应
有阻尼系统对激励的响应
复模态理论
Mechanical and Structural Vibration
第4章多自由度系统的振动
固有频率主振型
Mechanical and Structural Vibration
天津大学
固有频率主振型
频率方程
主振型
位移方程的解
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固有频率主振型
设n自由度系统运动微分方程的特解为
即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为
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固有频率主振型
将解式代入系统运动微分方程,并消去,得到
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固有频率主振型
特征矩阵
要使A有不全为零的解,必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。
式是关于p2的n次多项式,由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此,n个自由度振动系统具有n个固有频率。
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固有频率主振型
可得到
前乘以
下面对其取值情况进行讨论。
由于系统的质量矩阵M是正定的,刚度矩阵K是正定的或半正定的,因此有
于是,得到
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固有频率主振型
频率方程中所有的固有频率值都是实数,并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统;刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的;对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。
一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为
其中最低阶固有频率p1称为第一阶固有频率或称基频,然后依次称为二阶、三阶固有频率等。
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对应于pi可以求得A(i),它满足
固有频率主振型
A(i)为对应于pi的特征矢量。它表示系统在以pi的频率作自由振动时,各物块振幅的相对大小,称之为第i阶主振型,也称固有振型或主模态。
对于任何一个n自由度振动系统,总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型
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