文档介绍：第7章数学物理定解问题
1、数学物理方程简介:
数学物理方程是物理问题中的物理量满足的偏微分方
程或积分方程,是物理学的一个分支。
偏微分方程分为线性的和非线性的
三类偏微分方程:
波动方程
扩散方程
泊松方程
2、数学物理方法研究问题的步骤
写出定解问题
定解问题
把物理问题转化为数学语言(建模)
求解
分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法以及变分法、差分方法、保角变换法和复变函数方法等
分析解答
解出答案,需分析其意义及其适定性。
适定性:解是存在的,唯一的而且是稳定的。
3、数理方程的特点
数理方程一般连系着物理学中的许多问题,另一方面又要运用数学中的许多研究成果(方法),所以,他是数学和物理学中的桥梁
§ 数学物理方程的导出
一、弦振动方程
物理模型:均匀柔软细弦,受弦中张力
和重力影响。
分析:研究微小横向振动规律
x, t, u=u(x,t)为弦位移
取一小段弧MM’
建立方程:受力情况:
沿x方向
o
x
u
M
M’
ds
x
X+dx
N’
N
T’
T
Y方向受力情况
即在y方向:
因为当时
小弧段的加速度
由牛顿第二定律得
Or
Where
then
此式称为弦的自由振动方程或一维波动方程。
T=T ’
细绳
非奇次的弦振动方程
如果弦在振动过程中,还受到一个与振动方向平行的外力,
且假定在时刻t,x点处的单位长度受力为F(x,t),那么
略去弦本身的重量,我们导出
此式称为非齐次波动方程。类似的还有理想传输线的电报方
程。
二、均匀细杆的纵振动方程
解决的问题:杆上各点沿杆长方向的纵向位移
满足的方程
AB两端位移: , ,
AB段伸长:
相对伸长: / =
相对伸长随点而变化,
x
三、热传导方程
1、物理模型:
截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向
有温差,求热量的流动。
首先,我们复****一下
有关热量的几个概念:
设:Q——热量,S——面积,V——体积,
t——时间,ρ——密度,T——温度(u)
则:
(1)比热:单位质量物质温度升高一度所需的热量