文档介绍：题目一:
考虑如图所示的倒立摆系统。图中,倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括:摆杆的质量(摆杆的质量在摆杆中心)、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。
图倒立摆系统
设计一个控制系统,使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时,最大超调量d %≤10%,调节时间ts ≤4s ,使摆返回至垂直位置,并使小车返回至参考位置(x=0)。
要求:1、建立倒立摆系统的数学模型
2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性
3、设计状态反馈阵,使闭环极点能够达到期望的极点,这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点,两个非主导极点,这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定
4、用MATLAB 进行程序设计,得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应,绘出相应状态变量的时间响应图。
解:
1 建立一级倒立摆系统的数学模型
系统的物理模型
如图1所示,在惯性参考系下,设小车的质量为M ,摆杆的质量为m ,摆杆长度为l,在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ,作用在小车上的水平控制力为u。这样,整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图1 一级倒立摆物理模型
建立系统状态空间表达式
为简单起见,本文首先假设:(1)摆杆为刚体;(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦;( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。
在如图一所示的坐标下,小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ,摆球的水平位置为y+lsinθ。这样,作为整个倒立摆系统来说,在说平方方向上,根据牛顿第二定律,得到
(1)
对于摆球来说,在垂直于摆杆方向,由牛顿第二运动定律,得到
(2)
方程(1),(2)是非线性方程,由于控制的目的是保持倒立摆直立,在施加合适的外力条件下,假定θ很小,接近于零是合理的。则sinθ≈θ,cosθ≈1。在以上假设条件下,对方程线性化处理后,得倒
(3)
(4)
对于(3)(4)两个式子联立求解,得到
(5)
(6)
如果选择位移y、速度、角度θ和角速度为系统的状态变量,位移y为系统的输出,控制力u为输入量,并令x1=y,,,,则得到
系统的状态表达式为:
(7-a)
(7-b)
2 分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性
设系统的参数为M=1kg,m=,l=1m,重力加速度g=,于是
故
(8-a)
(8-b)
故而有:
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];
B=[0;1;0;-1];
C=[1 0 0 0];
能控性
在MATLAB中,输入
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];
B=[0;1;0;-1];
C=[1 0 0 0];
Qc=[B A*B A*A*B A*A*A*B]
得到
Qc =
0 1 0 1
1 0 1 0
0 -1 0 -11
-1 0 -11 0
再输入 rank(Qc),得到
ans =
4
于是系统是能控的。
能观测性
在MATLAB中,输入
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];
B=[0;1;0;-1];
C=[1 0 0 0];
Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A];
得到
Q0 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
再输入rank(Q0)
ans =
4
于是系统是能观测的。
稳定性
计算det[λI-A]=0;
求得的结果是λ1=0;λ2=0;λ3=;λ4=-。
因为结果不全是负实部,故而该系统不稳定。
3 状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵
状态反馈阵极点配置
因为我们知道,该系统的能控性矩阵满秩,所以该系统是能控的。可以通过状态反馈来任意配置极点。
希望的极点为s1=-6,s2=-,s3=-7,s4=-。
求状态反馈阵
在MATLAB中输入命定
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];
B=[0;1;0;-1];
P=[-6 - -7 -];
K=place(A,B,P)
得到计算结果为:
K=
- - - -
4 MATLAB程序设计
利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型,如图所示