文档介绍：第三节曲面及其方程
第八章
(Surface and Its Equation)
四、二次曲面
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
五、小结与思考练习
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一、曲面方程的概念
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
化简得
即
注: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
引例:
1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
解:设轨迹上的动点为
轨迹方程.
(Equations for a Surface)
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如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题:
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
求曲面方程.
(2) 已知方程时, 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图).
定义1
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故所求方程为
方程.
特别地,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面.
例1 求动点到定点
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解: 配方得
此方程表示:
说明:
如下形式的三元二次方程( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
的曲面.
表示怎样
半径为
的球面.
球心为
例2 研究方程
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定义2 一条平面曲线
二、旋转曲面
绕其平面上一条定直线旋转
一周
所形成的曲面叫做旋转曲面.
该定直线称为旋转
轴,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.
例如:
(Surface of Revolution)
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故旋转曲面方程为
当绕 z 轴旋转时,
若点
给定 yoz 面(x=0)上曲线 C:
则有
则有
该点转到
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
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小结:求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,
则该坐标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成
该变量与第三变量平方和的正负平方根.
思考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
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的圆锥面方程.
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
两边平方
例3 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
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分别绕 x轴
和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
所成曲面方程为
所成曲面方程为
例4 求坐标面 xoz 上的双曲线
(旋转双叶双曲面)
(旋转单叶双曲面)
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