文档介绍：线性代数基本知识点复****br/>第一章行列式
一、【重点】;。
二、【难点】;。
三、【基本概念与定理】
:
(1)将行列式转置(即相应的行变为相应的列)后,行列式的值不变;
(2)互换行列式的两行(列),行列式的值变号;
(3)用数乘行列式的某行(列)的各元素,等于用数乘此行列式;
(4)如果行列式中的某一行(列)的每个元素都写成两个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和,这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素,其它位置的元素与原行列式相同;
(5)如果行列式有两行(列)对应元素成比例,则此行列式的值为零;
(6)将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变
:在阶方阵中,去掉元素所在的第行和第列后,余下的元素按原来的顺序构成一个阶行列式,称为元素的余子式,记为。
:称为元素的代数余子式,记为,即。
:
(列)展开定理:行列式按行展开有
行列式按列展开有
:
: 对元线性方程组:
如果其系数行列式
则方程组有惟一解,且,其中是将中的第列元素对应地换为方程组的常数项所构成的行列式。
:对元齐次线性方程组
若其系数行列式,则方程组仅有零解(无非零解);若方程组有非零解,则。
四、【基本公式与法则】
1. 2. 3.
第二章(一) 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换
一、【重点】;。
二、【难点】;。
三、【基本概念与定理】
:
当全为零时,方程组称为齐次线性方程组;
当不全为零时,方程组称为非齐次线性方程组。
:由个数排成的行列的数表,称为矩阵,记为
简记为或
:两个矩阵的行数相等,列数也相等时,就称它们是同型矩阵。
:如果,是同型矩阵,且,则称矩阵A与矩阵B相等,记为
:元素都是零的矩阵,称为零矩阵。
:矩阵A的相应的行换为相应的列,得到的一个新的矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为AT或A′。
:
:
:两个步骤:消元过程、回代过程。
(1)消元过程:通过消去变元,将方程组化为同解的上三角方程组;
(2)回代过程:从最后一个方程,求出,代入倒数第二个方程,求出,继续回带,求出、、。
:对矩阵施行下列三种变换,分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等行(列)变换,统称为矩阵的初等变换:
(1)互换矩阵的两行(或列);
(2)以一个非零的数乘矩阵的某一行(或列);
(3)把矩阵的某一行(或列)的倍加到另一行(或列)上。
:如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价,记为A~B。
:可画出一条阶梯线,线的下方全为零;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元素,也就是非零行的第一个非零元素。
:行阶梯形矩阵中,非零行的第一个非零元素为1,且非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为零。可逆矩阵的行最简形矩阵为单位矩阵。
:矩阵的左上角部分的元素,其余元素均为零。
:任何矩阵可以通过初等变换化为标准形矩阵。
四、【基本公式与法则】
:A~A;:若A~B,则B~A;:若A~B,B~C,则A~C。
第二章(二) 矩阵的运算
一、【重点】 (特别是乘法);;。
二、【难点】 。
三、【基本概念与定理】
:若,则
:
(1).(2).(3).(4)
:若,为数,则
:
(1)(2)(3).(4).(5).
(6).
:若,,则,
其中.
:
(1).(2).
(3).(4)
:若为阶方阵,则。
:
(1)(2)。
: :
:
上三角矩阵: 下三角矩阵:
:将矩阵的行与列互换,得到一个矩阵,称为的转置矩阵,记为.
:如果,