文档介绍：关于实数连续性的基本定理
关键词:实数基本定理确界定理单调有界原理区间套定理有限覆盖定理紧致性定理柯西收敛定理等价证明
以上的定理表述如下:
实数基本定理:对R的每一个分划A|B,都唯一的实数r,使它大于或等于下类A中的每一个实数,小于或等于上类B中的每一个实数。
确界定理:在实数系R内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列单调上升有上界,则必有极限。
区间套定理:设{}是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r包含在所有的区间里,即。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理:有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理:在实数系中,数列有极限存在的充分必要条件是:
。
这些定理虽然出发的角度不同,但描写的都是实数连续性这同一件事,它们之间是相互等价的,即任取其中两个定理,它们可以相互证明。那么,它们在证明过程中有哪些联系?作为工具,它们又各具有什么特点?以下先给出它们的等价证明。
(二)实数基本定理的等价证明
→单调有界定理
证明:设数列单调上升有上界。令B是数列全体上界组成的集合,即B={b|},
而A=R﹨B,则A|B是实数的一个分划。事实上,由单调上升,故-1A,即A不空,由A=R﹨B,知A、B不漏。又对任给aA,bB,则存在,使ab,即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理,。
下证=r。事实上,对。
,
于是,|-r|,=r。
若数列单调下降有下界,令=-,则{}单调上升有上界,从而有极限,设极限为r,则
=(-)=-r。定理证完。
证明:设X是有上界的非空实数集,记B为X的全体上界组成的集合。A= R﹨B,则A|B构成实数的一个分划。事实上,不空,不漏显然。而由a不是X的上界,知有X,使得a,而由知b,故a b。
由实数基本定理,A|B是实数的一个分划,。
下证r=supX。首先证明r是X的上界。用反证法。如果不然,则有X,使得r,这时有a=
a=A,且有ar,这是不可能的。因此r是X的上界,而由于,
r是X的最小上界。
同理可证下确界的情形。定理证完。
证明:设{}是一个区间套,令,,则是的一个分划。事实上,,即非空;由的定义,不漏;,,则,,故,即不乱。故确是的一个分划。由实数连续性定理,存在唯一的实数,使得,,有。
下证。因为,由的定义,,故。又,有,则,从而。即。
最后证明唯一性。若有满足,,则
故。即这样的是唯一的。定理证完。
单调有界定理→实数基本定理
证明:给定实数的一个分划,任取,。用,的中点二等分[,],如果
,则取=, =;如果,则取=,=;……如此继续下去,便得两串序列。其中单调上升有上界(例如),单调下降有下界(例如)并且=。由单调有界定理,知r,使= r
()=0 +()= r
A,有(n=1,2,……),令,知r
,有(n=1,2,……), 令,知 r
下面证明唯一性。
用反证法。如果不然。则,同时对任意,,
对任意有,不妨设,
令显然,,
这与是R的一个分划矛盾。唯一性得证。定理证完。
→确界定理
证明:已知实数集A非空。,不妨设不是A的上界,另外,知
是A的上界,记=,
=,用,的中点二等分[,],如果,则取=, =;如果,则取=,=;……如此继续下去,便得两串序列。其中单调上升有上界(例如),单调下降有下界(例如)并且=。由单调有界定理,知r,使= r。由()=0 有+()= r
是A的上界,,有(n=1,2,……),
令,= r r是A的上界。
而由= r知
从而 r=supA。
同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完。
证明:已知(n), ,由单调有界定理知{}存在极限,设= r,
同理可知{}存在极限,设= ,由()=0得=0即
n,有,令,有,n,有。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明()。定理证完。
确界定理→实数基本定理
证明:对给定R的一个分划A|B,由于,b是集合A的上界,由确界定理可得,集合A有上确界r,即。r是集合A的上确界,r是集合A的全体上界的最小数。
,有r。
唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明(即二。1)。定理证完。
确界定理→单调有界定理
证明:设是单调上升有上界的实数列。由确界定理可得,r ,使r=sup。
,并且
,即
= r。
单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明(即一.