文档介绍：第八章群论
在研究代数系统时,可以将结合律看成是代数系统的基本性质,并且将具有相同性质的代数集中研究,从而形成了很多特定的代数系统,如半群,群,环,域,格,布尔代数等等。
而群是最早被研究的代数系统,半群的概念则是群的理论发展之后才引进的。
半群
:设<S,*>是代数系统,*是二元运算,如果*运算满足结合律,则称它为半群(Semigroups)
例:
例8-1:(1)设,则<S,*>是
半群(*矩阵乘法)
半群
设x为半群<S,*>中的元素,x的n次幂定义如下:
由于半群满足结合律,所以可用归纳法证明
,如果,则称x是<S,*>的幂等元。
:若<S,*>是半群,S是有限集合,则称S中必含有幂等元。
半群
半群
:如果半群<S,*>中二元运算*是可交换的,则称<S,*>是可交换半群;如:<Z,+>,<Z,×>,<P(S), >可交换半群, 不是。
:含有关于*运算幺元的半群<S,*>,称它为独异点(monoid),或含幺半群,常记作<S,*,e>
例: <Z,+,0>,<Z,×,1>,<P(S), , >是独异点, 不是。
对于独异点,一般规定,
半群
:(1)设<S,*>为一半群,若,*在T中封闭,则<T,*>称为子半群;(2)设<S,*,e>为一独异点,若,*在T中封闭,且幺元,则<T,*,e>称为子独异点。
半群
:一个有限独异点,<S,*,e>的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。
例8-2:(1)S={a,b,c},*运算的定义如表,判断<S,*>的代数结构;
(2)判断的代数结构。
*
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
半群
(2),i):封闭性:(画表),
ii):可结合性:有的定义可知,
iii):幺元:[0],
表中没有人员两行或两列元素完全相同。
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半群
:设<S,*>,<T,ο>是半群,f为S到T的同态,这时称f为半群同态,对半群同态,有(1):同态像<f(S),ο>为一半群;(2):当<S,*>为独异点时,则<f(S),ο>为一独异点。
证:,。
群的定义与性质
独异点中含有幺元,可以考虑其中每个元素是否有逆元,由此引出一个特殊的独异点,即群的概念
:如果代数系统<G,*>满足:(1) <G,*>为一半群;(2) <G,*>中有幺元;(3) <G,*>中每个元素均有逆元;则称代数系统<G,*>为群(Groups)。
群:每个元素都可逆的独异点,常用G表示;封闭,可结合,含幺元,元素可逆。
例: