文档介绍：状态重构问题与Luenberger状态观测器
前已指出,对于状态完全能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上,不仅是极点配置,而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制(LQ)问题等,也都可由状态反馈实现。然而, 节介绍极点配置方法时,曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中,并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量,因为噪声通常比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器,或简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接量测,这种状态观测器均称为全维状态观测器。有时,我们只需观测不可量测的状态变量,而不是可直接量测的状态变量。例如,由于输出变量是能量测的,并且它们与状态变量线性相关,因而无需观测所有的状态变量,而只需观测n-m个状态变量,这里n为状态向量的维数,m为输出向量的维数。
估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。
问题的提法
状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的,当且仅当系统满足能观测性条件时,才能设计状态观测器。
在下面有关状态观测器的讨论中,我们用表示被观测的状态向量。在许多实际情况中,一般将被观测的状态向量用于状态反馈,以便产生期望的控制输入。
考虑如下线性定常系统
()
()
假设状态向量x可由如下动态方程
()
中的状态来近似,则该式表示状态观测器,其中称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为y和u,输出为。式()中右端最后一项包括可量测输出y与估计输出
C之差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时,由于动态模型和实际系统之间的差别,该附加修正项将减小这些影响。。
下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中的附加修正项包含可量测输出与估计输出之差。在讨论过程中,假设在此观测器模型中使用的矩阵A和B与实际系统使用的相同。
全维状态观测器方块图
全维状态观测器的误差方程
在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式()和()定义。观测器的方程由式()定义。
为了得到观测器的误差方程,将式()减去式(),可得
()
定义与之差为误差向量,即
则式()可改写为
()
由式()可看出,误差向量的动态特性由矩阵A - KeC的特征值决定。如果矩阵A -KeC是稳定矩阵,则对任意初始误差向量e (0),误差向量e (t)都将趋近于零。也就是说,不管
x (0)和(0)的值如何,都将收敛到x (t)。如果所选的矩阵A - KeC的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量e (t)都将以足够快的速度趋近于零(原点),此时将称为x (t)的渐近估计或重构。
如果系统是完全能观测的,下面将证明可以通过选择,使得A - KeC具有任意的期望特征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵,以便产生期望的矩阵A - KeC。
对偶问题
全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵,使得由式()定义的误差动态方程,以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵A-KeC的特征值决定)。因此,全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的,使得A-KeC具有期望的特征值。此时,。
考虑如下的线性定常系统
在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统

的极点配置问题。假设控制输入为
如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值。
如果μ1,μ2,…,μn是状态观测器系统矩阵的期望特征值,则可通过取相同的μi作为其对偶