文档介绍：第五章李亚普诺夫稳定性分析
几个稳定性概念
李雅普诺夫稳定性理论李亚普诺夫方法在线性系统中应用李雅普诺夫方法在非线性系统中应用
2005-11-5
几个稳定性概念
自治系统:
零输入作用的系统
其中,x为n维状态向量,f(.,.)为维向量函数。
受扰运动:系统状态的零输入响应.
平衡状态:
如果对于所有的总存在着
则称为系统的平衡状态。
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,且A非奇异,则原点是系统唯一
如果
的平衡状态,
称为向量的欧氏范数
欧氏范数:
稳定
系统()中,
对,若
使得
时,有
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则称为李雅普诺夫意义下稳定的。
渐近稳定:
如果
是李雅普诺夫意义稳定的,
和
并且对于
总
使得
则称是渐近稳定的。
若,则称为大范围(全局)渐近稳
定。
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一致稳定(渐近稳定):
若的稳定性(渐近稳定)不依赖于,则称其
为一致稳定(渐近稳定)。
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(a)、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、
渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
不稳定:
正定函数:
1) 存在
2)
3)当
对于某个实数和,在超球域
内始终存在状态,使得从该状态开始的
受扰运动要突破超球域
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时,
则称是正定的(正半定的)。
如果条件3)中不等式的符号反向,则称是负定的(负半定的)。

1) 正定的
2) 半正定的
3) 负定的
4) 半负定的
5) 不定的
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二次型:
塞尔维斯特(Sylvester)定理: 为正定的充要条件是的所有顺序主子行列式都是正的。如果的所有主子行列式为非负的(其中有的为零),那么为半正定的。
如果是正定的(半正定的),则将是负定
的(半负定的)。
证明下列二次型函数是正定的。
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解:二次型可以写为
,
因为
所以
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李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫第一方法
设, 为孤立平衡点。
(1)平衡点平移:令
则
将在原点展开得,
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