文档介绍：状态观测器
节中介绍控制系统设计的极点配置方法时,曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。然而在实际情况中,不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量,因为噪声通常比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置(或计算机程序)称为状态观测器,或简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接测量,这种状态观测器均称为全维状态观测器。有时,只需观测不可测量的状态变量,而不是可直接测量的状太态变量。例如,由于输出变量是能观测的,并且它们与状态变量线性相关,所以无需观测所有的状态变量,而只观测n-m个状态变量,其中n是状态向量的维数,m是输出向量的维数。
估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。
引言
状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。。正如下面将看到的,当且仅当满足能观测性条件时,才能设计状态观测器。
在下面关于状态观测器的讨论中,我们用表示被观测的状态向量。在许多实际情况中,将被观测的状态向量用于状态反馈,以产生所期望的控制向量。
考虑如下线性定常系统
()
()
假设状态向量x由如下动态方程
()
中的状态来近似,该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为y和u,输出为。式()的右端最后一项包含被观测输出C之间差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时,由于动态模型和实际系统之间的差异,该附加的修正项将减小这些影响。。
下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中,假设在此模型中使用的矩阵A和B与实际系统使用的相同。
全维状态观测器方块图
全维状态观测器
在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式()和()定义。观测器方程由式()定义。
为了得到观测器的误差方程,用式()减去式(),可得
()
定义和之差为误差向量,即
则式()改写为
()
由式()可看出,误差向量的动态特性由矩阵A - KeC的特征值决定。如果矩阵A -KeC是稳定矩阵,则对任意初始误差向量e (0),误差向量都将趋近于零。也就是说,不管x (0)和(0)值如何,都将收敛到x (t)。如果所选的矩阵A - KeC的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。
如果系统是完全能观测的,则可证明可以选择。使得A - KeC具有任意所期望的特征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵
,以产生所期望的矩阵A - KeCo 下面讨论这个问题。
对偶问题
全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵,使得由式()定义的误差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵A-KeC的特征值决定)。因此,全维观测的设计就变为确定一个合适的,使得A-KeC具有所期望的特征值。因而,,
考虑如下的线性定常系统
在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统

的极点配置问题。假设控制输入为
如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得矩阵得到一组期望的特征值。
如果μ1,μ2,…,μn是期望的状态观测器矩阵特征值,则通过取相同的μi作为对偶系统的状态反馈增益矩阵的期望特征值,可得
注意到和的特征值相同,可得
比较特征多项式和观测器系统(参见式())的特征多项式,可找出和的关系为
因此,采用在对偶系统中由极点配置方法确定矩阵K,原系统的观测器增益矩阵K,可通过关系式确定。
可观测条件
如前所述,对于A - KeC所期望特征值的观测器增益矩阵的确定,其充要条件为:原系统的对偶系统
是状态