文档介绍：第五节系统的稳定性和代数稳定判据
11/10/2017
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一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中,总会受到外界和内部一些因素的扰动,例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定,就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态,并随时间的推移而发散。因此,如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施,是自动控制理论的基本任务之一。
稳定的充要条件和属性
稳定的基本概念:
设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下,离开了该平衡状态。当外作用消失后,如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态,则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。
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线性系统稳定的充要条件:
系统特征方程的根(即传递函数的极点)全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说,特征方程的根应全部位于s平面的左半部,则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零,这种系统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根位于s平面右半部或虚轴上,则此系统是不稳定的。
稳定的充要条件和属性
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充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根,它所对应的指数项将随时间单调增长;
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根,它所对应于一个常数项,系统可在任何状态下平衡,称为随遇平衡状态;
如果特征方程中有一对共轭虚根,它的对应于等幅的周期振荡,称为临界平衡状态(或临界稳定状态)。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。
稳定区
不稳定区
临界稳定
S平面
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充要条件说明
注意:稳定性是线性定常系统的一个属性,只与系统本身的结构参数有关,与输入输出信号无关,与初始条件无关;只与极点有关,与零点无关。
设线性系统的特征方程为则该系统稳定的必要条件为:1、特征多项式所有的系数符号相同;2、特征多项式所有系数都不为零。(无缺项)如果系统的特征方程成不满足上述条件,则可立即断定系统是不稳定的。如果满足上述条件,系统不一定是稳定的,因为它只是必要条件。
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但对于三阶或以上系统,求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。
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二、劳斯稳定性判据
(一)、劳斯判据
设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为:
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列所有元素都为正。
劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成。
第一行为1,3,5,…项系数组成,
第二行为2,4,6,…项系数组成。
劳斯判据
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劳斯判据
以下各项的计算式为:
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劳斯判据
依次类推。可求得
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