文档介绍：海淀区高三数学查漏补缺题
2010年5月
一、函数部分:
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数a的取值范围.
.
(I)求的单调区间与极值;
(II)求方程的实数解的个数.
x
O
1
C
D
B
A
,矩形ABCD内接于由函数图象围成的封闭图形,其中顶点C,D在上,求矩形ABCD面积的最大值.
二、数列部分:
.
(Ⅰ)证明数列是等比数列;
(Ⅱ)若,且,求数列的前项和.
,()
(Ⅰ) 当时,求及;
(Ⅱ)是否存在实数,使得数列为等差数列或等比数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由;
三、统计与概率部分:
1.(理科学生做)
某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
(Ⅰ)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);
(Ⅱ)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答4道小题,答对2道题就终止答题,,,每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率;
②记该同学决赛中答题个数为,求的分布列及数学期望.
2.(理科学生做)
袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取1个球,求取出1个红球2个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取1个球,
①求在前2次都取出红球的条件下,第3次取出黑球的概率;
②求取出的红球数X 的分布列和数学期望.
3.(文科、理科学生做)
已知,
(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,求的概率.
(Ⅱ)若是从区间中任取的一个数,是从区间中任取的一个数,求的夹角是锐角的概率.
4.(文科学生做)
一个袋中装有大小相同的黑球和红球,已知袋中共有5个球,从中任意摸出1个球,.
(Ⅰ)若从袋中有放回地取出两个球,每次只取出一个球,求取出的两个球上编号为相同数字的概率.
(Ⅱ)若从袋中取出两个球,每次只取出一个球,.
5.(文科学生做)
据统计,从5月1日到5月7号参观上海世博会的人数如下表所示:
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数(万)
21
23
13
15
9
12
14
其中,5月1日到5月3日为指定参观日,5月4日到5月7日为非指定参观日.
(Ⅰ)把这7天的参观人数看成一个总体,求该总体的平均数();
(Ⅱ)用简单随机抽样方法从非指定参观日中抽取2天,.
四、解析几何部分
,椭圆的左顶点、右焦点分别为,直线的方程为,为上一点,且在轴的上方,与椭圆交于点
(1)若是的中点,求证:.
(2)过三点的圆与轴交于两点,求的范围.
2.(理科学生做)
已知圆,动圆与定圆在轴的同侧且与轴相切,与定圆相外切.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知,是否存在垂直于轴的直线,使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
3.(理科学生做)
已知是抛物线上两个动点,且直线与直线的倾斜角之和为,试证明直线过定点.
,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设,过点的直线与椭圆C相交于两点,当线段的中点落在正方形内(包括边界)时,求直线的斜率的取
参考答案
:(Ⅰ)
令
当是增函数
当是减函数
∴
(Ⅱ)(i)当时,,由(Ⅰ)知上是增函数,在
上是减函数.
又当时,
所以,的图象在上有公共点,等价于
解得.
(ii)当时,上是增函数,
∴,
所以原问题等价于
又∴无解
说明:此题主要考查学生研究函数方法的运用:给函数解析式之后,能否通过研究函数的工具导数研究函数的变化趋势,:“若函数的图象与函数的图象在区间上有两个公共点,求实数a的取值范围.”
:(I),由得或.
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单增
极大值
单减
极小值
单增
所以,的单调递增区间为和,单调递减区间为;
极大