文档介绍：问题重述
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给与鼓励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,让我们根据钓上的鱼的长度来估计它的体重。现假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且测得到8条鱼的如下数据:
身长(cm)
胸围(cm)
重量(g)
765
482
1162
737
482
1389
652
454
问题分析
我们都知道鲈鱼的体重主要由鱼的身长、胸围决定。一般来说,鲈鱼的胸围越大,鱼的体重会越重,身长越长,体重也越重。但影响鲈鱼体重的因素并不唯一,我们要考虑单一变量对鱼体重的影响,即身体长度与体重的关系和胸围与体重的关系,我们要根据已知数据,利用相关软件进行模拟,来确定鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律。
模型假设
假设池塘里只有一种鲈鱼,不存在其他鱼种。
假设池塘里鲈鱼数量众多,分布均匀,密度相同。
假设鲈鱼全都正常生长,没有人为因素影响鲈鱼的发育与成长。
假设鲈鱼的体态用与胸围等周长,鲈鱼的躯干近似呈圆柱形。
假设鲈鱼的身长和胸围与体重成正相关关系。
符号说明
鲈鱼的身长
L
鲈鱼的胸围
C
鲈鱼的体重
W
模型三的待定系数
模型的建立与求解
模型一:建立鲈鱼的身长与鲈鱼的体重的模型
身长(cm)
重量(g)
765
482
1162
737
482
1389
652
454
为了研究鲈鱼身长与体重的关系,我们利用已测量的数据,取出身长及体重的数据,利用MATLAB软件画出散点图,如下:
方法一:我们把图形可以近似看成一条抛物线,身长与体重近似成二次函数关系
通过多次拟合可得:
W=*L^2-*L+
(1)
根据拟合的函数,我们画出拟合图:
从拟合图上看,大部分原始数据在拟合函数附近,说明用二次函数拟合的效果较好.
方法二: 根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下:
1 -80 3008 -37262
从而得到了拟合函数:
模型二:鲈鱼体重与胸围的模型确立
仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响,我们采用与模型一相同的方法,先画出鲈鱼体重与胸围的散点图:
从图形上看,鲈鱼体重与胸围可能成线性关系,利用多项式拟合的方法,我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式:
W=92*C-
根据拟合函数,画出胸围与体重关系的拟合图:
从图形上看,大部分点分布在直线左右,我们可以近似看成二者成线性关系。
模型三:
同时考虑身长、胸围对体重的影响:
此模型要用到基本假设4及即:鲈鱼的体态用与胸围等周长,与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高,底面积可以用周长表示:.,因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为:,问题转化为对系数的求解。利用MATLAB软件和已知的八组数据可以求出对应的值: