矩阵分析(7 8).ppt

文档介绍：第七章函数矩阵与矩阵微分方程

定义: 以实变量的函数为元素的矩阵
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称为函数矩阵,其中所有的元素
都是定义在闭区间上的实函数。
函数矩阵与数字矩阵一样也有加法,数乘,乘法,转置等几种运算,并且运算法则完全相同。
例:已知
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计算
定义:设为一个阶函数矩阵,如果存在阶函数矩阵使得对于任何
都有
那么我们称在区间上是可逆的。
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称是的逆矩阵,一般记为
例:已知
,那么在区间上是可逆的,其逆为
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函数矩阵可逆的充分必要条件
定理: 阶矩阵在区间上可逆的充分必要条件是在上处处不为零,并且
,其中为矩阵的伴随矩阵。
定义:区间上的型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为的秩。
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特别地,设为区间上的阶矩阵函数,如果的秩为,则称一个满秩矩阵。
注意:对于阶矩阵函数而言,满秩与可逆不是等价的。即:可逆的一定是满秩的,但是满秩的却不一定是可逆的。
例:已知
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那么。于是在任何区间
上的秩都是2。即是满秩的。但是在上是否可逆,完全依赖于
的取值。当区间包含有零时,
在上有零点,从而是不可逆的。
函数矩阵对纯量的导数和积分
定义:如果的所有各元素在处有极限,即
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其中为固定常数。则称在处有极限,且记为
其中
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如果的各元素在处连续,即
则称在处连续,且记为
其中
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容易验证下面的等式是成立的:
设
则
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