文档介绍：卡尔曼滤波算法在实时信号处理中的应用
摘要:卡尔曼滤波算法在实时信号处理中具有较大的优势。本文从另一角度阐述了卡尔曼滤波算法的来源及推导过程,并通过Matlab中的Simulink仿真模块来对卡尔曼滤波算法进行仿真,通过标准型和自适应卡尔曼滤波算法的异同,说明了卡尔曼滤波算法的应用场合及其局限性。
关键词:标准卡尔曼滤波,自适应卡尔曼滤波,Simulink
中图分类号: 文献标识码:A
1 引言
卡尔曼滤波算法(Kalman Algorithms)以它的发明者鲁道夫·E·卡尔曼(Rudolf E·Kalman)命名,斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。这种算法是上世纪六十年代末突破经典滤波理论发展起来的时域动态随机滤波方法,它通过建立应用系统的状态矢量模型,采用递推的方法寻求状态矢量在最小方差原则下的最佳估计,在通讯、随机控制、信号处理、过程监控、跟踪、制导、故障诊断、图像处理、机器人等领域已得到了广泛应用。Kalman滤波的局限性在于要求精确已知系统的数学模型和噪声统计,而在实际应用中这些条件并不能很好地满足,特别是量测数据常常受到野值(坏值,不稳定的数据)的污染。野值的存在会使状态估计发生偏差,甚至导致滤波发散。由此发展出很多自适应算法的滤波器,自适应卡尔曼算法便是其中的一种。
本文从另一角度推导了卡尔曼滤波算法的五个公式,本质地说明了算法实现的思想,并且用几个典型易懂的例子来说明这种算法的实现条件,优点,局限性及其应用场合;介绍了自适应卡尔曼滤波算法以及应用场合。
2 理论分析
(一)理论推导
下面具体研究卡尔曼滤波算法的理论来源与实验依据。
(1)为了得到卡尔曼算法的五个表达式,这里先举个简单的例子说明算法的计算过程。先假设已知两个值,各自的方差为,其线性估计式为:
(1)
该线性联合估计误差为:
(2)
其中为估计误差,为实际值,估计误差的期望为:
(3)
假定的估计是无偏的,且线性联合估计也是无偏的,即:
(4)
则由(5)式得到:
(5)
联合估计误差的方差可表示为:
(6)
下面可以使协方差最小来确定建立一个最小方差估计,确定权值,。这里假定两个值的误差是独立不相关的,即。
将(8)式关于求导,并令导数为零,化简为:
(7)
联立(7)式整理得:
(8)
将(10)式代入(8)式中,可得:
(9)
由矩阵求逆原理得:
(10)
则方程(3)的联合估计为:
(11)
或写成更紧凑的形式为:
(12)
至此,这里获得了(3)、(10)、(11)、(13)四个非常重要的公式。
(2)假设已知一组输入信号序列:,其中信号中伴随有噪声,且满足条件为:
(13)
这里将信号通过一个线性匹配滤波器,其流程如图1所示:
图1 滤波器流程图
称为测量信号流,用式子表示为:
(14)
其中为白噪声。下面采取状态传递估计矩阵先预测一下信号,再与测量值比较,采取线性叠加的方法得到当前的信号估计值,从而利用最小方差原则求出分配权重,最终得到信号的最佳估计值。
下面回到图1描述的流程,已知两个条件:
预测状态值,它由前段时间的估计值经过状态传递得到,即:
(15)
观测量,有类似(2)的表达式。
因此,构造如前面推导(3)的估计式,得:
(16)
一般更通常地写成为:
(17)
为满足(7)式的成立,对(17)式进行调整为:
(18)
类比前面公式得:
(19)
假定实际信号流符合状态传递规律,即:
(20)
其中为过程噪声传递因子,则由(18)式求得分别为:
(21)
(22)
其中为预测状态误差的协方差,为量测误差协方差。
将(21)、(22)代入(19)式中,得:
(23)
从而结合(11)得到:
(24)
将(2)、(17)、(20)、(23)、(24)整理得到:
(25)
至此得到了离散时间线性系统的卡尔曼滤波算法。
(二)算法分析
上节从另一角度推导了卡尔曼滤波算法,实际上在生活中我们有意无意地都在使用着这种算法。
比如我们手中有一支温度计,因好久没用精度有所下降,此时测得温度数据为,测量误差为,但精度不高。这时天气预报为,误差为。假定环境温度变化不大,根据(3)、(10)式可求得当前温度的估计值为。从这个例子可以看到最小方差原则的用处。
卡尔曼滤波算法是基于最小均方误差准则的一阶自回归过程的最佳线性估值问题[4]。它需要一步预测值及当前测量值作为前提,因而其滤波精度与预测准确度和测量精度有关,预测值与状态传递函数有关。
由(12)式可知,联合估计误差协方差类似并联电阻的表达式,小于预测