文档介绍：元二次方程解法的综合运用
[内容]
教学目标
(一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法:
(二)提高题目难度,培养计算能力和计算技巧,渗透换元思想;
(三)培养观察能力,根据题目结构,选择恰当的解法.
教学重点的难点
重点:四种方法的综合运用,选择恰当的解法.
难点:.
教学过程设计
(一)复****br/> ?
?
?
(二)新课
同一个题目可能会有多种解法,
程中应该根据算理,发挥计算技能,要有毅力计算到底,并在解题过程中随时检查可能出现
的错误.
例1 解方程:x(x-1)=x(x+1)
分析:(启发学生一起想)先化为一般形式.
解:原方程化为(1-)x2-(1+)x=0,提取公因式x,得x[(1-)x-(1+)]=0,x=0,(1-)x-(1+)=0.
(二次根式运算的结果,应化为最简二次根式)
例2 解方程:(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
分析:(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式.
观察题目的结构可见,把3x+2换元为t,则原方程就是t的一元二次方程.
解:设3x+2=t,原方程变为t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)==3,t2=+2=3或3x+2=
=1 3,x2=1.
注:本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x1=1 3,x2=1.
例3 解方程:144x2=61-208x.
解:原方程化为144x2+208x-61=0,则a=144,b=208,c=--4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61.
(此题数据太大,不宜大乘大除,,提取公因数,化为连乘积)
b2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169+9×61)=82×1225=(8×35) 2>0,原方程有实根.
例4 解方程:2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2) 2=0.
分析:如果把各项展开,,可换元
. 解:设x+1=m,x-2=n,原方程变形为2m2+3mn-2n2=0,左边因式分解为(2m-n)(m+2n)=0,2
m-n=0或m+2n=0,即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0所以x1=-4 ,x2=1.
另解:也可直接写为
[2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0,
2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0,
故 x1=-4,x2=1.
例5 解方程:(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.
分析:从例4的解题过程,我们再一次体会到,解方程的基本思想之一是“降次”,例
如把一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程.
本题是一元四次方程,我们试试能不能和因式分解法把方程(注意,必须等号一边为0)
(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左边分解因式.
解:(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0,[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x2-2x-8)
(x2-2x-15)-44=0,
令y=x2-2x-8,原方程变为y(y-7)-44=0,即y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0
,即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0.
由x2-2x-19=0,得x1,2=1±2 ;由x2-2x-4=0,得x3,4=1±.
所以 x1=1+2,x2=1-2,x3=1+,x4=1-.
(三)课堂练****br/> :(-x)2-(x-)(-x)=0.
:x2+x-1=0.
(=,x2=. =
(四)小结
、降次是解方程的重要思路.
、合理,尽可能避免大乘大除.
(五)作业
:
(1) x2+2=3x; (2) x2=3x+2;
(3) (x-1)(x+2)=70; (4) (3-x) 2=9-x2;
(5) (y+3) 2-2=0; (6) (3x-2)=2(3-x);
(7) x2+(1-3)x+4+=0; (8) 2(x+1)(x+2)=3