等差数列前n项和的公式.ppt

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等差数列的前n项和
引入
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例题
练****br/>结束
封面
复****br/>数列{an}前项n和的定义:
叫做数列的前n项和。
Sn= a1+ a2 + a3 + …+an-2+an-1+an
等差数列:
公差:
通项公式:
等差中项:
重要性质:
复****br/>高斯,(1777—1855) 德国著名数学家。
引入
1+2+3+…+98+99+100=?
高斯10岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢?
我们先看下面的问题。
注意:这里m,n,p,qN*
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例题
练****br/>结束
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复****br/>an+1-an=d(常数)
d
an=a1+(n-1)d
2A=a+b
(1)an=am+(n-m)d
(2)当m+n=p+q时, am+an=ap+aq
怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢?
一
二
4+10=14
三
5+9=14
6+8=14
四
7+7=14
五
8+6=14
六
9+5=14
七
10+4=14
(1)先算出各层的根数,
哇,每层都是14根;
(2)再算出钢管的层数,共7层哩。
所以钢管总根数是:
问题?
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例题
练****br/>结束
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复****br/>1
4
1+2+3+···+100=?
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2+ 1
+ + + + + + +
作
加
法
+ + + + + + +
作
加
法
多少个101 ?
100个101
所以S100=
(1+100)×100
?
?
首项
尾项
?
总
和
+
)
?
项数
2S100=101+101+101+…101+101+101
// // // // // \\ \\
+ + + + + + +
作
加
法
这就是等差数列前n项和的公式!
=5050
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例题
练****br/>结束
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复****br/>2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ …+(a1+an)
多少个(a1+an) ?
共有 n 个(a1+an)
把+得:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 
由等差数列的性质:当m+n=p+q时, am+an=ap+aq 知:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以式可化为:
= n(a1+an)
这种求和的方法叫倒序相加法!
因此,
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例题
练****br/>结束
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复****br/>以下证明{an}是等差数列,Sn是前n项和,则
证: Sn= a1+ a2 + a3 + …+an-2+an-1+an
即Sn=
a1
a1
a1
an
+ a2 +
+ a2 +
+ a2 +
+an-1+
a3
a3
an-2
+…+

an
an
+an-1+
an-2
+…+
+an-1+
等差数列的前n项和公式的其它形式
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等差数列的前n项和例题
1. 根据下列条件,求相应的等差数列的
(1) 根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn:
(1)a1=5, an=95,n=20;
(2)a1=100, d=-2,n=50;
练****1
S10=1000
S50=2550
(2)在等差数列中S10=120,求 a3+a18的值。
由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24