文档介绍：24、(2011•青岛)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BD⊥AC于点D,且BD=,沿AC的方向匀速运动,速度为2cm/s;同时直线PQ由点B出发,沿BA的方向匀速运动,速度为1cm/s,运动过程中始终保持PQ∥AC,直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、,设运动时间为ts(0<t<5).
(1)当t为何值时,四边形PQCM是平行四边形?
(2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S四边形PQCM=916S△ABC?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(4)连接PC,是否存在某一时刻t,使点M在线段PC的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
考点:相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用;线段垂直平分线的性质;勾股定理。
专题:综合题。
分析:(1)假设PQCM为平行四边形,根据平行四边形的性质得到对边平行,进而得到AP=AM,列出关于t的方程,求出方程的解得到满足题意t的值;
(2)=t,根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC,根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形,即BP=PQ=t,再由证得的相似三角形得底比底等于高比高,用含t的代数式就可以表示出BF,进而得到梯形的高PE=DF=8﹣t,又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t,所以梯形的下底CM=10﹣;
(3)根据三角形的面积公式,先求出三角形ABC的面积,又根据S四边形PQCM=916S△ABC,求出四边形PQCM的面积,从而得到了y的值,代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可;
(4)假设存在,则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC,过点M作MH垂直AB,由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB,由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长,再由AP的长减AH的长表示出PH的长,从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方,再由AC的长减AM的长表示出MC的平方,根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值.
解答:解:(1)假设四边形PQCM是平行四边形,则PM∥QC,
∴AP=AM,即10﹣t=2t,解得t=103,
∴当t=103s时,四边形PQCM是平行四边形;
(2)过P作PE⊥AC,交AC与E,如图所示:
∵PQ∥AC,∴△PBQ∽△ABC,∴△PBQ为等腰三角形,PQ=PB=t,
∴BFBD=BPBA,即BF8=t10,解得BF=45t,
∴FD=BD﹣BF=8﹣45t,又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t,
∴y=12(PQ+MC)•FD=12(t+10﹣2t)(8﹣45t)=25t2﹣8t+40;
(3)S△ABC=12AC•BD=12×10×8=40,
当y=