文档介绍：放缩技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学****能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证:
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的,
所以
:
解析: 一方面: 因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,
所以综上有
例4.(2008年全国一卷)..
设,:.
解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故若存在正整数, 使, 则,
若,则由知
,,
因为,于是
,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于而正是成立的,所以原命题成立.
,,求证:.
解析:
所以
从而
,,求证:
证明: ,
因为,所以
所以
二、函数放缩
:.
解析:先构造函数有,从而
所以
:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
::构造函数后即可证明
: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)
:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路:
。于是,
即
注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数)上单调递增,在上单调递减.∴的最小值为,即总有
而
即
令则
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证:函数上是增函数;
(II)当;
(III)已知不等式时恒成立,
求证:
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”,解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
:
解析:
例22. 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足
,,.
(1)证明>>4,; (2)证明有,使得对都有<.
解析:(1) 依题设有:,由得:
,又直线在轴上的截距为满足
显然,对于,有
(2)证明:设,则
设,则当时,
。
所以,取,对都有:
故有<成立。
,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足
,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。
解析:首先求出,∵
∴,∵,,…
,故当时,,
因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,
则当时,必有.
故不存在常数