文档介绍：第一学期第十次课
,方阵的逆矩阵
1、可逆矩阵,方阵的逆矩阵的定义
定义设A是属于K上的一个n阶方阵,如果存在属于K上的n阶方阵B,使
,
则称B是A的一个逆矩阵,此时A称为可逆矩阵。
2、群和环的定义
定义设A是一个非空集合。任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。
定义设G是一个非空集合。如果在G上定义了一个代数运算(二元运算),称为乘法,记作,而且它适合以下条件,那么就成为一个群:
乘法满足结合律
对于G中的任意元素a,b,c有;
存在单位元素,对于任意,满足;
对于任意,存在,使得。
关于群的性质,我们有如下命题:
命题对于任意,同样有
证明对于,存在,使得,
,
两端右乘,得到
。
命题对于任意,同样有
证明。
命题单位元素唯一
证明假设存在,均是单位元素,则。
命题对于任意,存在唯一,使得,于是元素就称为的逆元素,记为。
证明设存在,满足条件,则
。
易知,。
命题对于G中的任意元素a,b,方程有唯一解。
定义一个群G称为一个交换群(Abelian Group),若定义在上面的代数运算满足交换律,即对于任意,都有。
定义设L是一个非空集合,在L上定义了两个代数运算,一个叫加法,记为a+b,一个叫乘法,记为ab。如果具有性质:
(1)、L关于加法成为一个交换群;
(2)、乘法满足结合律,即
,有;
(3)、乘法关于加法满足分配律,即,有
那么L就称为一个环。
命题数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群,称为上的一般线性群,记为GL;数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环,称为上的全矩阵环,记为M;
证明按定义逐项验证即可。其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵,而M中加法的单位元是n阶零方阵。
命题
证明,由逆矩阵的唯一性可知,命题成立。
命题假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B,则是的逆矩阵。
证明只需要证明即可。
事实上,
,
于是命题得证。
命题矩阵可逆当且仅当满秩;
证明必要性若n阶方阵A可逆,则存在n阶方阵B,使得,于是有
,于是;
充分性若n阶方阵满秩,则A可以表为初等矩阵的乘积,即存在初等矩阵,使得。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上,;;,所以由命题。证毕。
,矩阵方程和的解法(为可逆阵)
用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵
如果A可逆,则A满秩。于是A可以经过初等行变换化为对角形,即
,则。