文档介绍：数学建模讲义 第5章微分方程模型
传染病模型
问题
描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型
已感染人数(病人) i(t)
每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
模型1
假设
若有效接触的是病人,则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
?
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为
2)每个病人每天有效接触人数为, 按比例,其中有S(t)个健康人, 且使接触的健康人致病
建模
~ 日
接触率
SI 模型
模型2
1/2
tm
i
i0
1
0
t
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
Logistic 模型
病人可以治愈!
?
t=tm, di/dt取最大值/4
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染
增加假设
SIS 模型
3)病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模
~ 日接触率
1/~感染期
~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。
模型3
i0
i0
接触数=1 ~ 阈值
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
1-1/
i0
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i
di/dt
0
1
>1
0
t
i
>1
1-1/
i
0
t
1
di/dt < 0
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统,称移出者
SIR模型
假设
1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为
2)病人的日接触率, 日治愈率,
接触数= /
建模
需建立的两个方程
模型4
SIR模型
无法求出
的解析解
在相平面上
研究解的性质
模型4
消去dt
SIR模型
相轨线的定义域
相轨线
1
1
s
i
0
D
在D内作相轨线的图形,进行分析