几个常见函数的公理化定义.ppt

文档介绍：§4 几个常见函数的公理化定义
一、指数函数与对数函数
二、幂函数
三、三角函数与反函数
数函数的定义:
设f是R→R上的函数,满足
公理Ⅰ
公理Ⅱ有≥(常数),则称为指数函数.
(一)指数函数的定义
一、指数函数与对数函数
(二)指数函数的性质
性质1
性质2 指数函数处处连续可导,且
当时, 是单调上升函数;
当时, 是单调下降函数.
性质 3 指数函数是下凸函数.
又因为,所以有
性质4 指数函数可以展开为如下的幂级数:
它在上处处收敛.
二、幂函数的定义
设g是上的函数,满足
公理Ⅰ对于有
公理Ⅱ在x=1处可导,且
则称g是m次幂函数.
性质1 对于,有
性质2 处处可导,且
性质3 函数具有任意阶导数,且
三、三角函数与反函数的定义
设C与S是R→R上的函数,它们满足
公理Ⅰ,有
公理Ⅱ
则称与分别为余弦函数与正弦函数,式中是圆周率.
性质1(奇偶性) 对于,有,即余弦函数是偶函数.
性质2(有界性)对于, ≤1 ≤1.
 
性质3 (加法定理)对于,有
 
性质4 (诱导公式与周期性)