文档介绍：信号与系统实验报告
实验目的
(1) 理解周期信号的傅里叶分解,掌握傅里叶系数的计算方法;
深刻理解和掌握非周期信号的傅里叶变换及其计算方法;
(3) 熟悉傅里叶变换的性质,并能应用其性质实现信号的幅度调制;
(4) 理解连续时间系统的频域分析原理和方法,掌握连续系统的频率响应求解方法,并画出相应的幅频、相频响应曲线。
实验原理、原理图及电路图
(1) 周期信号的傅里叶分解
设有连续时间周期信号,它的周期为T,角频率,且满足狄里赫利条件,则该周期信号可以展开成傅里叶级数,即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
三角形式的傅里叶级数:
式中系数,称为傅里叶系数,可由下式求得:
指数形式的傅里叶级数:
式中系数称为傅里叶复系数,可由下式求得:
周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时,本质上是对信号进行数值积分运算。Matlab中进行数值积分运算的函数有quad函数和int函数。其中int函数主要用于符号运算,而quad函数(包括quad8,quadl)可以直接对信号进行积分运算。因此利用Matlab进行周期信号的傅里叶分解可以直接对信号进行运算,也可以采用符号运算方法。quadl函数(quad系)的调用形式为:y=quadl(‘func’,a,b)或y=quadl(***@myfun,a,b)。其中func是一个字符串,(函数名);a、b分别表示定积分的下限和上限。第二种调用方式中”@”符号表示取函数的句柄,myfun表示所有限定义的函数的文件名。
(2)周期信号的频谱
周期信号经过傅里叶分解可表示为一系列正弦或复指数信号之和。为了直观地表示出信号所含各分量的振幅,以频率(或角频率)为横坐标,以各谐波的振幅或虚指数函数的幅度为纵坐标,可画出幅度-频率关系图,称为幅度频谱或幅度谱。类似地,可画出各谐波初相角与频率的关系图,称为相位频谱或相位谱。
在计算出信号的傅里叶分解系数后,就可以直接求出周期信号的频谱并画出其频谱图。
(3)非周期信号的傅里叶变换和性质
非周期信号的傅里叶变换定义为:
称为频谱密度函数,一般需要用幅度谱和相位谱两个图形才能将它完全表示出来。
傅里叶变换具有很多性质,如线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移特性、频移特性、卷积定理、时域微分和积分、频域微分和积分、能量谱和功率谱等。其中频移特性在各类电子系统中应用广泛,如调幅、同步解调等都是在频谱搬移的基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示:
它是将信号(常称为调制信号)乘以所谓载频信号或,得到高频已调信号。显然,若信号的频谱为,则根据傅里叶变换的频移性质,高频已调信号的频谱函数为:
可见,当用某低频信号去调制角频率为的余弦(或正弦)信号时,已调信号的频谱是包络线的频谱一分为二,分别向左和向右搬移,在搬移中幅度谱的形式并未改变。Matlab中提供了专门的函数modulate()用于实现信号的调制,其调用形式为y=modulate(x,Fc,Fs,’method’)。其中x为被调信号,Fc为载波频率,Fs为信号x的采样频率,method为所采用的调制方式。实现信号的调制也可以利用Matlab直接求解被调信号的傅里叶变换。
Matlab中symbolic工具箱提供了直接求解信号的傅里叶变换和逆变换的函数fourier()和ifourier()。这两个函数采用符号运算方法,在调用之前要用syms命令对所用到的变量进行说明,返回的同样是符号表达式。除此之外,要实现傅里叶变换的数值计算,可以直接利用傅里叶变换的定义,调用前述的quad函数对信号进行数值积分运算,得到相应的变换结果;也可以对原始信号离散化采样,进行数值计算求解傅里叶变换。数值计算的原理如下:
对于一大类信号,当足够小时,上式的近似情况可以满足实际需要。若信号是时限的,则n的取值是有限的,设为N,则上式变为:
式中频率也进行了取样,。采用Matlab实现时,要注意正确生成的N个样本的向量及向量,两向量的内积结果即完成傅里叶变换的数值计算。此外,时间取样间隔需要满足取样定理(Nyquist条件):。如果某个信号不是严格的带限信号,则可根据实际计算的精度要求来确定一个适当的频率为信号的带宽。
(4) 连续系统的频域分析和频率响应
设线性时不变(LTI)系统的冲击响应为,该系统的输入(激励)信号为,则此系统的零状态输出(响应)可以写成卷积的形式:。设,和的傅里叶变换分别为,和,则它们之间存在关系:,反映了系统的输入和输出在频域上的关系。这种利用频域函数分析系统问题的方法常称为系统的频域分析法。
函数反映了系统的频域特性,称为系统的频率响应函数(有时也称为系统函数)可定义为系统响应(零状态响应