文档介绍：第四章线性系统的根轨迹法
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4- 1-1 根轨迹法
4-1-2 根轨迹与系统性能
4-1-3 闭环零极点与开环零极点间的关系
4-1-4 根轨迹方程
1948 年提出了一种确定闭环系统特征根的图解法———根轨迹法。
如图:
特征方程为:
其根为:
可以用 k 为参变量,在 s 平面作其根轨迹:
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通过根轨迹图,可以对系统如下性能做研究:

(1)稳定性
若系统轨迹进入s右半面,则系统不稳定,根轨迹与虚轴交点处为临界稳定。
(2)稳态性能
可以判断系统型次,并推算出开环增益。
(3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型。
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如图:
设:
其中
为前向通路增益;
为前向通路根轨迹增益。
为反馈通路根轨迹增益;
为开环根轨迹增益。
则有:
由闭环传递函数可见:
1). ( 当n > m时)闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路的根轨迹增益(单位反馈系统,闭环与开环根轨迹增益相同);
2).闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的极点组成(单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。);
3).闭环极点与开环极点、开环零点及K*有关。
根轨迹:由开环零、极点来确定闭环极点随K*变化在s平面上画出的轨迹。
4-1-4 根轨迹方程
系统特征方程:1+ G(s)H(s) =0,即
幅值条件:
相角条件:
1、相角条件:满足该条件的点均为可能的根;
2、幅值条件:满足该条件的点确定 K* 值。
3、在满足相角条件下,将根轨迹增益 K* 由零增大直至,便可利用幅值条件画出根轨迹。
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法则1. 根轨迹起源于开环极点,终于开环零点。
当 K*= 0 时,根轨迹方程退化为:
此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。
由
可得:
当 K*时,根轨迹方程退化为:
此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点。
同样由
也可得:
法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性:
根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有限极点数 n 中的大者相等,连续对称于实轴。
当 m<n 时,根轨迹终于开环传递函数的无穷远零点。
可得:
开环传递函数中,若令 s当 m<n 时, G(s)H(s) =0
称 s( m<n),是 G(s)H(s) 的无限零点(n-m个)。