文档介绍：第5章线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis

幅相曲线对数频率特性曲线

已经学习了用线性常微分方程和传递函数描述线性定常系统,这两种模型分别在时域和复频域中对系统进行了描述。下面介绍一种数学模型——频率特性函数,这种模型是对系统的一种频域刻画,在系统分析中有重要作用。判断系统是否稳定,稳定程度——稳定裕度。
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。(是以传递函数为基础的又一种图解法。与根轨迹法相比较,根轨迹法是一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法,特别对于高阶系统)。
与其他方法相比较,频率响应法还具有如下特点:
(1)频率特性具有明确的物理意义,它可以用实验的方法来确定,这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说,具有重要的实际意义。
(2)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析,因而具有形象直观和计算量少的特点。
(3)频率响应法不仅适用于线性定常系统,而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。

频率特性的基本概念
频率特性又称频率响应,它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的响应特性。设线性系统的输入为一频率为的正弦信号,在稳态时,系统的输出具有和输入同频率的正弦函数,但其振幅和相位一般均不同于输入量,且随着输入信号频率的变化而变化,。
图
(t),全响应y(t)和稳态响应yss(t)
考虑系统传递函数为

设系统的传递函数为
已知输入,其拉氏变换,A为常量,则系统输出为
(5-1)
式中,为G(s)的极点。对于稳定系统,这些极点都位于s平面的左方,即它们的实部均为负值。为简单起见,令G(s)的极点均为相异的实数极点,则式(5-1) 改写为
(5-2)
均为待定系数。对上式取拉氏反变换,求得
(5-3)
当时,系统响应的瞬态分量趋向于零,其稳态分量为(5-4)
其中系数由下式确定
(5-5) (5-6) 由于是一个复数向量,因而可表示为
(5-7)
因为G(s)的分子和分母多项式为实系数,故为关于的偶次幂实系数多项式,
为关于的奇次幂实系数多项式,即为的偶函数,为的奇函数。
(5-8)
(5-9)
(5-10)
(5-11)
(5-12)
将式(5-5) 、式(5-6)、式(5-7)和式(5-11)代入式(5-4),求得
(5-13)
以上证明了线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号,其输出与输入的幅值比为,输出与输入的相位差。
下面以R-C电路为例,说明频率特性的物理意义。图5-3所示电路的传递函数为
(5-14)
设输入电压,由复阻抗的概念求得
(5-15)
如上所述,可以改写为
(5-16)
式中,;;
称为电路的频率特性。显然,它由该电路的结构和参数决定,与输入信号的幅值与相位无关。是的幅值,它表示在稳态时,电路的输出与输入的幅值之比。是的相角,它表示在稳态时,输出信号与输入信号的相位差。由于和都是输入信号频率的函数,故它们分别被称为电路的幅频特性和相频特性。
综上所述,式(5-15)所示频率特性的物理意义是:当一频率为的正弦信号加到电路的输入端后,在稳态时,电路的输出与输入之比;或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
(a) 幅频特性
(b)相频特性
图5-4 R-C电路的频率特性
比较式(5-14) 、(5-15),可见频率特性与传递函数具有十分相似的形式,只要把传递函数中的用代之,就得到系统(元件)的频率特性,即有
(5-17)
图5-5频率特性、传递函数和微分方程三种描述之间的关系
频率特性的表示法
(1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot)
(2)极坐标图(Polar plot)
(3)对数幅相图(Log-magnitude versus phase plot)
(1)对数坐标图(Bode diagram or logarithmic plot)
对数频率特性。
对数频率特性曲线,由两张图组成:一张是对数幅频特性,它的纵坐标为,单位是分贝,用符号表示。常用表示。另一张是相频特性图。它的纵坐标为(°),两张图的纵坐标均按线性分度,横坐标是角速率,采用分度(为了在一张图上同时能展示出频率特性的低频和高频部分)。故坐标点不得为零。1到10的距离等于10到100的距离,这个距离表示10倍频程,用dec表示。
优点:j幅频特性的乘除