文档介绍：第6章离散时间信号与系统的复频域分析——z变换
z 变换的定义
常用序列的 z 变换
z 变换的性质
逆 z 变换
离散系统的z域分析
数字滤波器
用MATLAB进行z域分析
在连续时间系统中,为了把时域的微分方程转换为代数方程,我们利用了拉氏变换。在离散系统中,我们是否可以用类似的变换——z变换把差分方程的问题转换为代数方程的问题呢?
利用拉氏变换,我们可以把求解连续系统零状态响应的卷积积分问题转换为乘积计算问题,在离散时间系统中,我们是否可以用z变换把系统零状态响应的卷积和的问题转换为乘积问题呢?
连续系统中,利用拉氏变换我们引入了系统函数H(s),它是输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换X(s)的比值,也是冲激响应h(t)的拉氏变换。我们是否可以利用z变换引入离散系统的系统函数H(z)呢?
连续系统中,利用系统函数,我们可以分析系统的时域特性、频率特性、稳定性。在离散系统中,我们是否也可以用系统函数做相同的事情呢?
回答以上问题就是本章的内容。
z 变换的定义
抽样信号的拉氏变换
由第四章可知,对连续时间信号进行均匀冲激取样后就得到离散时间信号。设有连续时间信号x(t),每隔时间T取样一次,这相当于连续时间信号x(t)乘以冲激序列δT(t)。
z变换的定义
单边z变换的收敛域
使序列x[n]的z变换收敛的所有z的集合称为z变换X(z)的收敛域,简记为ROC(Region of Convergence)。
2. z变换收敛域与拉氏变换收敛域的关系
单边z变换的收敛域
单边拉普拉斯变换的收敛域是s平面上σ>σ0的右半平面,相应z变换的收敛域为r>r0的圆外。即z平面上以原点为中心,以r0=eσ0T为半径的圆外区域(包括无穷大区域)为z变换的收敛域。
3. z变换与傅里叶变换的关系
由于z=esT,则s平面的虚轴s=jω映射到z平面的单位圆|z|=e0=r=1。正像虚轴上的拉普拉斯变换对应于连续时间信号的傅里叶变换一样,单位圆上的z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。因此,若一个离散时间信号的傅里叶变换存在,它在z平面的收敛域应包含单位圆。