文档介绍：第七节矩阵的秩
矩阵的秩的定义
阶梯形矩阵的定义
矩阵秩的求法
一、矩阵的秩的定义
定义设A=( aij )是m×n矩阵,从A中任取k行k列(k≤min (m, n) ),位于这些行和列的相交处的元素,保持它们原来的相对位置所构成的 k阶行列式,称为矩阵A的一个k 阶子式.
设A为m×n 矩阵,如果A中不为零的子式最高阶数是k,即存在A的k阶子式不为零,而A的所有k+1阶子式皆为零,则称 =k 或 r (A)=k. 当A=O时,规定r(A)=0
r (A)=r
A至少有一个r 阶子式不为0,而A的所有r+1阶子式皆为0, r+2阶子式皆为0,…
r (A)=r
A至少有一个r 阶子式不为0,而A的所有高于r 阶的子式皆为0
从定义可以看出:
(2) r(A)=r(AT) , r(kA)=r(A) 其中k为不等于零的常数
(1) 0 ≤r≤min (m, n)
(3) 若存在 r 阶子式不为零, 则 r(A)≥r ;
若A的所有r+1阶子式全为零,则r(A) ≤r
A的任意 2 阶子式均为0,
A的 3 阶子式均为 0
称矩阵A 的秩为 1 r(A)=1
A的不等于0 的子式最高阶数为1
A有一个1 阶子式不为0
A有一个2 阶子式不为0
A的任一3 阶子式均为 0
称矩阵A 的秩为 2 r(A)=2
A的不等于0 的子式最高阶数为2
A有一个3 阶子式不为0
A没有3 阶以上的子式
称矩阵A 的秩为 3 r(A)=3
A的不等于0 的子式最高阶数为3
称矩阵A 的秩为 4 r(A)=4
不等于0 的子式最高阶数为4
A有一个4 阶子式不为0
A的任一5 阶子式均为 0
二、阶梯矩阵的定义
(1) 零行(元素全为零的行)都在矩阵的最下面
形矩阵( 或称梯矩阵):
定义满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯
(2) 非零行(元不全为零的行)中首非零元前面零
的个数逐行增加
例如
行阶梯形矩阵的特点:
阶梯线下方的元素全为零; 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.
关于行阶梯形矩阵有以下结论
定理 每一个矩阵都可以经过初
等行变换化为行阶梯形矩阵.
行最简形矩阵
定义一个行阶梯矩阵若满足
(1) 每个非零行的第一个非零元为 1 ;
(2) 每个非零行的第一个非零元所在列的其
它元全为零, 则称之为行最简形矩阵.