文档介绍：第四章:三角函数
第一部分:角的概念的推广
教学目标:
理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度与角度的换算。
一、知识点回顾:
角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
始边:起始位置的射线;终边:终止位置的射线;顶点:始边和终边的共同端点。
角的分类:(1)正角:逆时针方向旋转;(2)零角:不旋转;
(3)负角:顺时针方向旋转。
直角坐标系中讨论角:
(1)顶点是原点;(2)始边是横轴正半轴及原点。
4、象限角:若角的顶点是原点,始边是横轴的非负半轴,则角的终边在哪一象限,就是哪一象限角。
5、轴线角:若角的顶点是原点,始边是横轴的非负半轴,并且角的终边在坐标轴上,则此角叫做轴线角。
6、终边与角α重合的所有角连同角α一起,可以表示成集合:
S=。
例1、已知角α是第三象限角,则是( D )。
A、第一象限角; B、第三象限角;
C、第四象限角; D、第一、第三或第四象限角;
解:∵角α是第三象限角,∴180o+k360o<α<270o+k360o,k∈Z。
60o+360o<<90o+360o,k∈Z。
(1)当k=3m,m∈Z时,60o+m360o<<90o+m360o,m∈Z。是第一象限角。
(2)当k=3m+1,m∈Z时,60o+360o<<90o+360o,k∈Z。即180o+m360o<<210o+m360o,m∈Z。是第三象限角。
(3))当k=3m+2,m∈Z时,60o+360o<<90o+360o,k∈Z。即300o+m360o<<330o+m360o,m∈Z。是第四象限角。
弧度制:
(1)1弧度的角:弧长等于半径的圆弧所对圆心角。
(2)弧度数:正角的弧度数是正数;负角的弧度数是负数;零角的弧度数是0。|α|=。
(3)弧长公式,扇形面积计算公式:l=|α|r,S扇=lr=|α|r2。
例2、若锐角α的终边与它的10倍角的终边相同,求α。
解:根据题意知:10α=k360o+α,k∈Z。且0o<α<90o。于是9α=k360o,α=k40o。0o<k40o<90o。解得k=1,或2。∴α=40o,或80o。
例3、如图,已知一点A(1,0),按逆时针方向做匀速圆周运动,1秒钟时间转过θ角,经过2秒钟点A在第三象限,经过14秒钟,与最初位置重合,求θ的弧度数。
解:∵0<θ≤π,∴0<2θ≤2π。∵经过2秒钟点A在第三象限,∴π<2θ≤。∵经过14秒钟,与最初位置重合,∴14θ=2nπ,n∈Z。
7π<2nπ≤,于是n=4,或5。当n=4时,θ=;当n=5时,θ=。
二、综合练****br/>x
y
π-α的终边
-α的终边
α的终边
若α是第四象限角,则π-α是第三象限角。
解:方法一:∵α是第四象限角,∴2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z
2kπ-2π<-α<2kπ-,k∈Z, 2kπ-π<π-α<2kπ-
∴π-α是第三象限角。
方法二:利用图形。
2、若一圆弧长等于所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数的绝对值为( C )。
A、 B、 C、 D、2
解:设内接正三角形的边长为a,a=R,∴α==。∴选C。
α和β的终边关于y轴对称,则必有( D )。
A、α+β= B、α+β=(2k+)π C、α+β=2kπ D、α+β=(2k+1)π
若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合,则α的集合是。
已知扇形的周长为30cm,当它的半径r和圆心角α各取什么值时,扇形的面积最大?最大面积是多少?
解:方法一:30=2r+l≥2,解得2rl≤225. S扇=lr≤×2rl=。
取等号的条件:2r=l,解得r=, α=2。
方法二:30=2r+l,∴l=30-2r,S扇=lr=(30-2r)r=15r-r2。
当r=, S扇最大=,此时α=2。
在1时15分时,时针和分针所成的最小正角是多少弧度?
解:在1时时,时针和分针所成的角:;到1时15分时,分针转过的角:;时针转过的角:。
∴所求角:--=。
集合M=,N=,则( A )。
A、MN B、NM C、M=N D、M∩N=φ
解:方法一:M: ,N:
∴MN,选A。
4
8
7
6
5
3
2
y
x
方法二:
1
3
4
x
2
y
1
o
y
o
x
P
M N
8、如图,半径为1的圆O上有两个动点M、N,同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动。M点按逆时针方向转动,速度为rad/s,N点按顺时针方向转动,速度为rad/s。试求他们出发后第三次相遇时的位置及各自走过的弧长。
解:t=6π,解得t=12秒。l1=×12×1=