文档介绍：数字信号处理
张刚
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离散傅里叶变换(DFT)
本章主要内容
离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换的基本性质
频率域采样
DFT的应用举例
离散傅里叶变换的定义
DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列,
则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为
X(k)的离散傅里叶逆变换为
N称为DFT变换区间长度,一般N≥M, 通常称()式和()式为离散傅里叶变换对。
离散傅里叶变换的定义
下面证明IDFT[X(k)]的唯一性。
把()式代入()式有
M为整数
所以, 在变换区间上满足下式:
IDFT[X(k)]=x(n), 0≤n≤N-1
由此可见, ()式定义的离散傅里叶变换是唯一的。
离散傅里叶变换的定义
例 x(n)=R4(n) ,求x(n)的8点和16点DFT.
解:设变换区间N=8, 则
设变换区间N=16, 则
离散傅里叶变换的定义
DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N, 其Z变换和DFT分别为:
比较上面二式可得关系式
离散傅里叶变换的定义
图 X(k)与X(e jω)的关系
离散傅里叶变换的定义
DFT的隐含周期性
前面定义的DFT变换对中, x(n)与X(k)均为有限长序列, 但由于WknN的周期性, 使()式和()式中的X(k)隐含周期性, 且周期均为N。对任意整数m, 总有
均为整数
所以()式中, X(k)满足
同理可证明()式中
x(n+mN)=x(n)
离散傅里叶变换的定义
实际上, 任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列, 而x(n)则是的一个周期, 即
为了以后叙述方便, 将()式用如下形式表示:
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列, ((n))N表示n对N求余, 即如果
 n=MN+n1, 0≤n1≤N-1, M为整数,
则((n))N=n1
离散傅里叶变换的定义
图有限长序列及其周期延拓