《空间向量与立体几何》知识点.doc

文档介绍：《空间向量与立体几何》知识点
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⑴在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
⑵,箭头所指的方向表示向量的方向.
⑶向量的大小称为向量的模(或长度),记作.
⑷模(或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量.
⑸与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作.
⑹方向相同且模相等的向量称为相等向量.
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⑴求两个向量和的运算称为向量的加法,:在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形,则以起点的对角线就是与的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.
特别地,在中,为的中点,则.
⑵求两个向量差的运算称为向量的减法,:在空间任取一点,作,,则.
,,与方向相同;当时,与方向相反;当时,为零向量,.
,为实数,,是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.
分配律:;结合律:.
,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.
:对于空间任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.
.
:空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,,使;或对空间任一定点,有;或若四点,,,共面,则.
,在空间任取一点,作,,则称为向量,的夹角,记作,.两个向量夹角的取值范围是:,,.
,若,,则向量,互相垂直,记作.
,则,称为,的数量积,,.零向量与任何向量的数量积为.
,的乘积.
,为非零向量,为单位向量,则有:⑴,;
⑵;⑶,,;
⑷,;⑸.
:⑴;⑵;
⑶.
,,是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量,存在有序实数组,,,使得,称,,为向量在,,上的分量.
:若三个向量,,不共面,则对空间任一向量,存在实数组,,,使得.
,,不共面,则所有空间向量组成的集合是
,,,.这个集合可看作是由向量,,生成的,
,,称为空间的一个基底,,,.
,,为有公共起点的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以,,的公共起点为原点,分别以,,的方向为轴,轴,,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,,,,,,称作向量在单位正交基底,,下的坐标,记作,,.此时,向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标,,.
,,,,,,则⑴,,.
⑵,,.⑶,,.
⑷.
⑸若、为非零向量,则.
⑹若,则,,.
⑺.
⑻,.
⑼,,,,,,则
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