文档介绍：无穷级数=0的必要、充分条件(修订)
黄小宁
(通讯:广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
育人课本及科普书上的重大错误是否及时纠正,与每一个人的切身利益息息相关。
5千多年数学一直认为无穷多个数相加是不能完成的。其实这是极片面认识。例如所有非0整数的和H=1-1+2-2+3-3+…=0,尽管其前n部分和的极限不存在。H=(1-1)+(2-2)+…=0+0+…,但其各项的数值都是非0整数而非都是0。研究各项都是0的级数是没有意义的。可见级数发散≠其所有项的和不存在。同样,发散级数c+H=c+0≠0表示一个数c。
稍有一点逻辑推理能力的人都能明白此极显然的客观事实C:若级数的每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之对应(此项与彼项对应就不可与别的项对应了),则和式必=0。
各项的数值都是1或-1的发散级数s=(1-1)+(1-1)+…=0(注!括号只规定运算次序而没有…,s=0+0+0+…=0≠s的各项=0)的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于是否“一样多”而与任何别的因素没有任何关系,而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响,故s=1-1+1-1+...=0。形成鲜明对比的是在等号两边加1或(-1)就打破了1与-1一一对应的格局,从而使s±1=0±1=±1而≠0!这是小学生都一说就明的最起码常识啊!s=(1-1)+(1-1)+…=0的每两项用括号括在一起,就没有一项在括号之外了,即s可表为一双双项的和。非常显然:给s增添一项得
s-1=-1+(1-1)+(1-1)+…=-1+(0=s)
中有一个项在括号之外:新增的-1与哪个1配对?在s=0中哪有1与这-1配对?故s=1+(s-1)中的s-1= -1+1-1+1-...不“一样多”而≠(-1+1)+(-1+1)+...。
可见:各级数都是一个个项构成的,但“各级数都是一双双项构成的”就是重大错误了;将能是一双双项构成的级数
称为h型级数,其所有奇数项都必有右邻项与之配对,而非h型级数中必有一奇数项无右邻项与之配对。文献[1]证明了若形如{1,2,…,n,…}的集Q的各元n<n+1则Q必有最大元。显然若两级数的项一样多,则其必同型。显然对某型级数抽去或添加:奇数个项或非h型级数,得到的级数就是非某型的了。级数的类型的变化说明其项的多少发生了变化。可见在级数w =项1+项2+项3+…(所有编号数组成X)的首项左边增添一项得到的级数=项1+项2+项3+…(所有编号数组成S)的项与w的项不一样多。故在
{1,2,3,…,n,n+1,…}=S(代表S内数的y=n+1> n=1,2,3,…中数列的所有数组成X)
X=={1,2,3,…,n,…}的各元n的头上都有对应数n+1∈S
中,集S的元与集X的元不一样多,故S≠X。对此,第4节也有论证。不等式也明确表示有S内数y>X的所有数n。
几百年不明此理使级数论几百年来一直有重大错误的认识:级数1-1+1-1+1-1+...。如果改变运算次序并把这些项成对组合起来,即如(1-1)+(1-1)+…;就得到一个仅以0构成的级数。但是,…。(朱梧槚等译《无穷的玩艺》125页,南京大学出版社,)症结是,在没有证明原级数中的1与-1一样多的情况下是不能断定其可=(1-1)+(1-1)+…的。
不能见到形