文档介绍：化归法与递推法
化归思想及其应用
一、化归原则
“化归”一词,从字面上看是转化和归结的意思。
数学中的“化归原则”,就是指未解决的或待解决的问题通过某种途径进行转化,归结为已解决的或易解决的问题,最终使原问题获得解决的一种方法原则。
例5-1 明明原有的图书是亮亮的6倍,如果两人各再买2本,那么明明所有图书是亮亮的4倍。两人原来各有图书多少本?
明明
亮亮
6 倍
2本
2本
4 倍
12-2=10(本)
6-4=2倍
4 倍
1 倍
将原题化归成一个简单的“差倍问题”:已知两数的差为10,倍数差为2,求一倍数。
例5-2 甲站有汽车192辆,乙站有汽车48辆,每天从甲站开往乙站的汽车有21辆,从乙站开往甲站的汽车有24辆。几天以后甲站的汽车是乙站的7倍?
1、甲乙两站共有汽车(192+48)辆,当甲站的汽车是乙站汽车的7倍时,乙站有多少辆汽车?
原问题可以分割成以下两道有连续性的简单应用题:
2、乙站原有汽车48辆,每天从乙站开往甲站的汽车有24辆,从甲站开往乙站的汽车有21辆,几天以后乙站还有30辆汽车?
一、化归原则
1、数学中的“化归原则”,就是指未解决的或待解决的问题通过某种途径进行转化,归结为已解决的或易解决的问题,最终使原问题获得解决的一种方法原则。
(1)数学化原则,即把生活中的问题转化为数学问题,建立数学模型,从而应用数学知识找到解决问题的方法
(2)熟悉化原则,即把陌生的问题转化为熟悉的问题
(3)简单化原则,即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言,复杂的问题未必都不会解决,但解决的过程可能比较复杂。
(4)直观化原则,即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。
生疏的
问题
化归
熟悉的
问题
解决熟悉的问题
生疏的问题
得到解决
案例1:半径为1的圆内任意放6个点,请你说明,其中必有两个点,它们的距离不大于1。
复杂的
问题
化归
简单的
问题
解决简单的问题
复杂的问题
得到解决
2、数学中到处蕴涵着化归思想
譬如运算。小学数学中减法是化归成加法、除法是化归成乘法而完成的;异分母分数的大小比较及加减运算法则的基本思想,是借助通分将其化归为同分母分数的大小比较及加减运算,进而化归为整数(分子)的大小比较及加减运算。代数中,有理数的大小比较与运算法则是借助绝对值将其化归为算术数的大小比较与运算;整式的加减运算又是通过去括号、合并同类项化归为有理数间的运算。
一般的说,总是将一种新的、陌生的运算化为已掌握的、熟悉的运算。