文档介绍：清华大学热能工程系
毕大鹏
提纲
涡旋简介
涡旋的数学描述
对数涡旋及斐波那契数列
涡流管及麦克斯韦小妖
涡旋简介
人类改造世界的历史告诉我们,对于一种自然现象,人们对其的认识均要经历三个阶段
几乎没有任何的人造设备在自然界找不到其对应现象
感官认识
物理、数学的描述
按照其原理制造满足人类需求的设备
涡旋广泛存在于自然界,实际生活,建筑设计。(Vortex are found in natural and are utilized in a very wide range of applications)
流体理学家柯西曼()曾说过:涡旋是流体运动的肌腱
涡旋与涡量
涡量(vorticity):涡量是向量,表征流体的旋转。数学上,用速度的旋度来表示,即,它等于流体微团绕其中心作刚性旋转的角速度的两倍。是从微观上度量流体旋转的物理量,它只是流场中某个点上旋转的量度,但并不表示整个流场是否旋转。
涡旋(vortex):涡旋是集中的涡结构。涡旋有很多定义:如涡旋是一群绕公共中心旋转的流体微团;涡旋是以无旋流体或物面为边界的有限体积的有旋流体。
微观
宏观
自由涡和刚性涡
自由涡(free vortex):其切向速度表达式为,即切向速度与半径成反比。自由涡属于无旋运动,即流体绕对称轴做圆周运动时,流体质点本身不旋转
刚性涡:又称固体涡(solid-body vortex),其切向速度表达式为,即切向速度与半径成正比。强制涡属于有旋运动,即流体绕对称轴做圆周运动时,流体质点本身旋转
涡旋的数学描述
半径为R的圆在平面(x,y)上可以表示为
参数方程为
速度是距离的导数
对上式求导可得
阿基米德螺旋在平面(x,y)可表示为
参数方程为
对上式求导可得
涡旋的数学描述
Type of vortex
Equation of locus
Velocity field
圆涡旋
(circle)
阿基米德螺旋
(archimedes sprial)
对数螺旋
(logarithmic sprial)
自由涡旋
(free vortex)
强迫涡旋
(forced vortex)
涡旋的数学描述
流场中,速度为零的点称为奇点,即=(0,0)
将速度场在(0,0)处进行泰勒展开得
写成矩阵的形式
将右端雅克比矩阵进行分解得
涡旋的数学描述
+
其中D为对称矩阵(symmetric matrix),代表速度场中变形部分(ponent),Ω为反对称矩阵(antisymmetric matrix),代表速度场的旋转部分(ponent)。
所以在某一平面上涡旋数学上的表示就是其雅克比矩阵可以分解为表示旋转的反对称矩阵