文档介绍：§ 7-7. Signal-Adapted wavelet analysis(Wavelet-Packets)
小波分析,应用的范围很广:
信号分析、信号压缩、去噪、特征提取等。
==一般的小波分析:
由尺度函数,
经过伸缩方程(DE)、小波方程(WE)可以得出一个小波的基函数
(Dilation Equation)
(Wavelet Equation)
==小波包分析
能提供一组小波基函数( A Library of Bases)
而一般的传统小波分析只是其中之一。
(正交情况)
设与正交的尺度函数与小波函数相对应的低通和高通滤波器的冲击响应分别是: 和
重新命名,
并定义函数序列如下:
此图示出前6个Haar-Walsh
定理:如果上述的和是一组正交的滤波器,则为上的正交基,而且对于一固定的整数n≥0,集合对于∧n是正交基。
其中∧0=V0,且∧2n=C∧n, ∧2n+1=D∧n
(C,D为式(1a)(1b)的运算)
(正交情况)
函数序列生成了一组固定尺度的小波包。
因为它提供了一正交基
其中n-频率下标,k-位置下标,但无尺度下标。
然而,这同一函数序列还可以用来生成多尺度的小波包
, 其中j-尺度下标(分辨度)
显然,固定尺度的小波包只是上述多尺度小波包的一个子集j=0
对于Haar-Walsh小波包而言:每个函数Wn(t)的支撑区为[0,1),取值为±1;当尺度为j时,Wn(2-jt-k)的支撑区为[0,1/2-j),
故尺度下标j表明所能提供的分辨度。
因此,频率下标n和尺度下标j合起来,即相当于用一个二进制的空间dyadic inteals,作为一砖块:
覆盖了整个频率尺度空间。
显而易见,有多种组合可以形成对R+的不相交的二进制覆盖
disjoint dyadic cover, 如图中的阴影部分为一种。
定理:若(1a,1b)式中的和是一正交滤波器的冲击响应,且I是对R+的一个互不相交的二进制覆盖,则
是空间上的正交基。

为简化起见,仅考虑有限长的离散信号,N=2p
假定和是一低通、高通正交的滤波器,记C,D分别表示涉及和滤波时的滤波、样值减半的运算。
对于一个8-样点的输入信号,整个小波包的系数可由一树状结构的形式来计算。
现在的问题是应该选哪一个小波包系数?
引入一个概念:信息成本函数
Information Cost Function
定义:对于一离散信号的信息成本函数M是满足下列可加性的实值函数:
其中
信息成本函数举例:
取大于阈值的数
Lp-norm
for 0<p<2
注:if 且 M(x1)<M(x2)
则x1的能量被集中在