文档介绍：参数辨识模型
§1. 引言
在数学建模中,经常会遇到这样一类问题:在确定了问题涉及的关键量和发现制约问题的基本规律或部分规律后,可以得到刻划这些关键量之间关系的数学表达式,但在这些表达式中尚包含若干未知参数。实际问题往往又提供了某些表征关键量变化的信息(如某种实验数
据等等)。如果利用这些信息,连同刻划关键量之间的表达式可以确定未知参数,则实际问题就迎刃而解了。
通常将确定未知参数的过程称为“参数辨识”,而将上述一类问题的数学描述称为参数辨识模型。
参数辨识模型应用非常广泛,刻划关键量之间关系的表达式也是多种多样的,既可
能是某种代数方程、函数方程,也可能是微分方程或方程组;未知参数在这些关系式中也以不同的方式出现;赖以进行参数辨识的信息更是多种多样的。
参数辨识模型与其它数学模型及建模方法密切相关。例如,当人们对问题的机理所知甚少时,参数辨识模型蜕变为回归模型或统计模型。当制约问题的规律用微分方程描述时,参数辨识模型
又与微分方程模型有十分密切的关系。若需要辨识的参数是某些微分方程的系数时,这类辨识模型又可称为微分方程的反问题。有一类专门刻划一个“系统”中各个部门之间物质的转移和守恒的参数辨识模型被称为房室模型。
解决参数辨识问题的数学方法涉及优化、微分方程或差分方程的求解、积分变换等等。
§
1992年全国大学生数学建模竞赛A题为:某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P)。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据如下表所示,其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示公斤。当一种营养素的肥料变化时,总将另二种营养素的施肥量保持在第七个水平上。试分析施肥量与产量之间的关系。
生菜:N P K
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
28
56
84
112
168
224
280
336
392
0
49
98
147
196
294
391
489
587
685
0
47
93
140
186
279
372
465
558
651
我们仅讨论生菜产量与P肥施肥量之间的关系。模型的建立基于以下的事实:P是植物生长的要素之一,土壤中没有P,植物不可能长成,因而产量为0。另一方面,若其它营养要素N,K供应充分能满足植物生长需要,则随着P的施肥量增加,植物产量会增加,而产量达到较高水平时再增加P施肥量引起产量增加的效果比产量较低时增加同样的施肥量引起产量增加的效果要低。实验数据也揭示了这一特征。
从实验数据可以看出,当N施肥量为224kg/ha时或K施肥量为372kg/ha时,生菜产量均处于较高水平,因此可以认为,此时,N,K能满足生菜生长的需要。因此N,K施肥量固定在这一水平,P施肥量变化对产量变化的影响的实验数据就明显地呈现前述趋势。
从数据还可以看出,当P的施肥量为0时,生菜产量并非为0,这说明土壤中原来就含有一定的P营养成分。实验数据也
证实,P的施肥量再多也不会引起产量的明显下降。于是可以认为随着P的施肥量大大增加,生菜产量趋于一个渐近值,称为极限产量。
模型建立:用y表示生菜产量,P表示P肥的施肥量。我们选取单调增加、有一条水平渐近线的函数作为数学模型。例如双曲线:
显然,当P趋于无穷时,y趋于a,因此参数a即为极限产量。令y=0,得
解得
。
这表明不施P肥时,土壤中含有的P营养素相当于施加P肥量
。