文档介绍：第五章:控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析
稳定性的概念
线性系统稳定的充要条件
线性系统稳定的必要条件
代数判据(一般情况,特殊情况,劳斯,赫尔维茨)
劳斯判据的应用(确定稳定域判断稳定性,求系统的极点,设计系统中的参数
稳定性的概念
分析小球平衡点的稳定性
    
定义:若线性控制系统在初始扰动的影响下,其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之,若在初始扰动的影响下,系统的过渡过程随时间的推移而发散,则称该系统不稳定。
设系统的微分方程模型为:
分析系统的稳定性是分析在扰动的作用下,当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能,亦系统在作用下的性能,亦与系统的输入信号无关,只与系统的内部结构有关。对上述微分方程描述的系统亦只与等式的左端有关,而与右端无关,亦:系统的稳定性是由下列齐次方程所决定:
其稳定性可转化为上述齐次方程的解c(t)若则系统稳定,则
系统不稳定。分析齐次方程的解的特征。
由微分方程解的知识,上述方程对应的特征多项式为:
设该方程有k个实根(i=1,2,…k)
r对复根(i=1,2,…r)
k+2r=n 且各根互异(具有相同的根时分析方法相同,推导稍繁琐)
则上述齐次方程的一般解为:
其中为常数,由式中的决定,分析可见:只有当时,否则。
注:只能是小于零,等于或大于均不行。等于零的情况为临界稳定,属不稳定。
综:
线性系统稳定的充要条件(iff)是:
其特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部。
亦:特征方程的根均在根平面(复平面、s平面)的左半部。
亦:系统的极点位于根平面(复平面、s平面)的左半部。
从上面的充要条件可以看出:系统稳定性的判断只需计算上系统的极点,看其在s平面上的位置,勿需去计算齐次方程的解(当系统复杂时的计算可能很繁),勿需去计算系统的脉冲响应。
线性系统稳定的必要条件
设系统特征方程式中所有系数均为实数,并设(若,对特征方程两端乘(-1)),可以证明上述特征方程中所有系数均大于零(即)是该特征方程所有根在s平面的左半平面的必要条件。也就是说,()特征根有可能在左半s平面,否则()特征根中有在虚轴上或右半平面的。
证明:
设
有n个根 k个实根(i=1,2,…k)
r对复根(i=1,2,…r)
k+2r=n
则逐一展开看系数即可。
例:F(s)= a0(s-λ1)(s-λ2) λ1<0
        =a0s2-a0(λ1+λ2)s+a0λ1λ2 λ2<0
                   a1>1 a2>1 -(λ1+λ2)>0 λ1λ2>0
    F(s)=a0(s-λ1)[(s-σ1)2+ω12]
        =a0[s3-(2σ1+λ1)s2+(σ12+ω12+2λ1σ1)s-λ1(σ12+ω12)]
        =a0s3-a0(2σ1+λ1)s2+a0(σ12+ω12+2λ1σ1)s-a0λ1(σ12+ω12)
                   a1>1 a2>1 a3>1
以此类推。
根据这条原则,在判断系统稳定时,可事先检查一下系统特征方程的系数是否均为正。
注意:此条件仅为必要条件,非充分条件
一定要均大于零,不能等于(缺项)或小于零。
代数判据
劳斯判据
劳斯判据是1877年Roth提出来的一种代数判据,只介绍方法不证明,证明涉及到高等代数的理论。
劳斯判据的三个步骤:
①列写系统的特征方程式;
②列写劳斯表;
③根据劳斯表判断系统的稳定性。
⑴系统的特征方程
⑵劳斯表
        a0 a2 a4 ……
       a1 a3 a5 ……
       b1 b2 b3 ……
       c1 c2 c3 ……
    …
    …
    …
   
表中
    
    
     ……
劳斯表中,可以证明:将某一行中所有元素同时乘以某一正数,不影响系统的稳定性的判断。
(这样处理往往可以简化计算)
定性的判断
若劳斯表中第一列的各元素的符号均为正,则特征方程的所有根位于左半s平面,即系统稳定。
若劳斯表中第一列中存在着零元素或小于零的元素,系统则不稳定,劳斯表中第一列符号变化的次数即是系统在右半平面的极点个数。
递推的劳斯判据
与劳斯判据的思路和方法完全相同,仅只是在总结劳斯表的列写上,归纳出下面的递推形式,便于计算机处理或计算。