文档介绍：第三章第三章控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
一、稳定性的基本概念
•所谓稳定性,就是指系统在扰动作用消失后,经过
一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准
确地回复到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到
原来的平衡状态,则称系统是稳定的;若干扰消失后
系统不能恢复到原来的平衡状态,偏差越来越大,则
系统是不稳定的。
•一般来说,系统的稳定性表现为其时域响应的收
敛性,如果系统的零输入响应和零状态响应都是收
敛的,则此系统就被认为是总体稳定的。
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
二、线性系统的稳定性
单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为
Y (s) b s m + bs m−1 + + b s + b
= 0 1 L m−1 m n ≥ m
X (s) a s n + a s n−1 + + a s + a
0 1 L n−1 n
系统的特征方程式为:
a s n + a s n−1 + + a s + a = 0
0 1 L n−1 n
此方程的根,称为特征根。它是由系统本身的参
数和结构所决定的。
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
三、线性系统稳定的充分必要条件
•线性系统稳定的充分必要条件是:特征方程式的所
有根均为负实根或其实部为负的复数根,即特征方程
式的根均在复数平面的左半部分。
•也可以说,系统稳定的充分必要条件是系统的极点
均在s平面的左半部分。
•如果特征方程在复平面的右半平面上没有根,但在
虚轴上有根,则可以说该线性系统是临界稳定的,系
统将出现等幅振荡。
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
四、劳斯—赫尔维茨(Routh-Hurwitz)稳定判据
1、稳定性的初步判别
设已知控制系统的特征方程
a s n + a s n−1 + + a s + a = 0
0 1 L n−1 n
式中所有系数均为实数,且a0>0。则系统稳定的必要
条件是上述特征方程式所有系数均为正数。
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
2、劳斯判据
•将系统的特征方程写成如下标准形式:
a s n + a s n−1 + + a s + a = 0
0 1 L n−1 n
•并将各系数组成如下排列的劳斯表:
n
s a0 a2 a4 …
•表中的有关系数
n-1
s a1 a3 a5 …
为:
n-2 a a − a a ba − a b
s b1 b2 b3 … 1 2 0 3 1 3 1 2
b1 = c1 =
n-3 a1 b1
s c1 c2 c3 …
a1a4 − a0 a5 b1a5 − a1b3
b2 = c2 =
┇┇┇┇
a1 b1
2 a1a6 − a0 a7 b1a7 − a1b4
s e1 e2
b3 = c3 =
s1 f a1 b1
1 ……
0
s g1
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
•列出了劳斯表以后,可能出现以下几种情
况:
(1) 第一列所有系数均不为零的情况。
这时,劳斯判据指出,系统极点实部为正实数根
的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次
数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必
要条件是方程的各项系数全部为正值,并且劳斯
表的第一列都具有正号。
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
例3-1 三阶系统的特征方程为
32
Ds()= a01s ++as a2s+a3=0
试判断该系统的稳定性。
解:列出劳斯表:
3 a
s a0 2
2 a
s a1 3
aa − aa
s1 12 03
a1
0
s a3
系统稳定的充分必要条件是:
aa01>>0, 0, a2>0, a3>0, a1a2−a0a3>0
第一节第一节线性系统的稳定性线性系统的稳定性
例3-3 系统的特征方程为 D(s) = s5 + 2s 4 + s3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试判断该系统的稳定性。
解:列出劳斯表:
s5 114
由左表可以看出,
4
s 235 第一列各数值的符
s3 -1 3 0(各元素乘以2) 号改变了两次,由
+2变成-1,又由-1
s2 950 改变成+9,因此该
系统有两个正实部
s1 32 (各元素乘以9) 的极点,系统是不
稳定的。
s0 5