文档介绍：第九章第九章
线性系统、卷积线性系统、卷积
线性系统线性系统
线性系统的定义线性系统的定义
线性系统可用传递函数来刻线性系统可用传递函数来刻划划,将其看,将其看
作黑箱(作黑箱(BlackBlack BoxBox),),线性系统的输入信号线性系统的输入信号
和输出信号之间的关系,在时域可用卷积运和输出信号之间的关系,在时域可用卷积运
算来表达,在频域可直接用乘积来确定:算来表达,在频域可直接用乘积来确定:
tx )( 线性系统 ty )(
时域关系:时域关系:
∞
= −= )()()(*)()( dxtgtxtgty τττ
∫∞−
频域关系:频域关系:
= sXsGsY )()()(
线性(线性(linearitylinearity))
设对某个特定系统,输入设对某个特定系统,输入xx1(t)(t)产生输出产生输出yy1(t)(t)即:即:
x1(t)x1(t)————y1(t)y1(t)
而对另一而对另一输入输入x2(t)x2(t)产生产生y2(t)y2(t)即:即:
x2(t)x2(t)————y2(t)y2(t)
则此系统是线性的当且仅当它有如下的性质:则此系统是线性的当且仅当它有如下的性质:
x1(t)+x2(t)x1(t)+x2(t)————y1(t)+y2(t)y1(t)+y2(t)
移不变性移不变性
假设对某线性系统,有:假设对某线性系统,有:
x(t)x(t) ————y(t)y(t)
让输入信号沿时间轴平移让输入信号沿时间轴平移TT,,若:若:
x(tx(t--T)T) ————y(ty(t--T)T)
即输出信号除平移同样长度以外其他不即输出信号除平移同样长度以外其他不
变,则系统具有移不变性变,则系统具有移不变性
卷积卷积
一维卷积一维卷积 y = g ∗ x
卷积积分:卷积积分:
∞
−= )()()( dxtgty τττ
∫∞−
tx )( tg )( ty )(
卷积举例卷积举例
g(-τ)
x(τ) g(τ)
τ
-Tx/2 τ-Tg
Tx/2 Tg τ
(1)输入函数(2)卷积函数(3)g(τ)反折
g(t-τ)
g(t-τ) x(τ)
t-Tg t τ
t-Tg t-Tg -Tx/2
τ-Tx/2 Tx/2 Tx/2+Tg
τ)反折、平移
(4)g( (5)函数叠置(6)结果 t
相乘
卷积运算的性质卷积运算的性质
交换性:交换性: = ** fggf
∞
即:即: −= xtfgf )(* = *)( fgdxxg
∫∞−
加法的分配律加法的分配律+ = + **)(* hfgfhgf
结合律结合律= *)*()*(* fgfgff
d
求导求导= ′= **]*[ gfgfgf ′
dt
离散一维卷积离散一维卷积
对于两个长度分别为对于两个长度分别为mm和和nn的序列的序列f(i)f(i)和和g(j)g(j)有:有:
= = ∑− jigjxigixih )()()(*)()(
j
上式给出了一个长度为上式给出了一个长度为N=m+nN=m+n--11的输出序列。的输出序列。